微分積分例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.8

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 1.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 1.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

ステップ 1.11

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

ステップ 1.11.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

ステップ 1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.4

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.5

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.3

簡約します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.4.2

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.10.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.10.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.11

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.14

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.14.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.14.3

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.14.4

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.15

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.16

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.19

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.20

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.1

$2$ を $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.20.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.20.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.21

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.22

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.23

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.24

指数を足して ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.24.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.24.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.24.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.24.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 1) - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.25

${(x^{2} + 1)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.26

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.27

$0$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.28

$\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.29

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

ステップ 2.30

指数を足して ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2} + 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.30.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2} + 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.30.1.1

$x^{2} + 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

ステップ 2.30.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 2.30.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 2.30.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 2.30.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ を ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

ステップ 3.1.2

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

ステップ 3.1.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

ステップ 3.1.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}})$

ステップ 3.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f''' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 3.2.2

$n = - \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 3.6.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 3.7.2

${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 3.7.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1

$3$ を ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ の左に移動させます。

$f''' (x) = - \frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 3.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ を分母に移動させます。

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 3.8

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 3.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 3.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

ステップ 3.11

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

ステップ 3.11.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = - 2 \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

ステップ 3.11.3

$- 2$ と $\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{- 2 \cdot 3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

ステップ 3.11.4

$- 2$ に $3$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

ステップ 3.11.5

$\frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{- 6 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 3.11.6

$2$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 3.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

$2$ を $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}$

ステップ 3.12.2

共通因数を約分します。

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 3.12.3

式を書き換えます。

$f''' (x) = \frac{- 3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 3.13

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ です。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 4.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.1.2.2

式を書き換えます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.3.3

${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.4

$f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.4.2

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.7

公分母の分子をまとめます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.8.2

$5$ から $2$ を引きます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

$\frac{5}{2}$ と ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.9.2

$\frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.10

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.12

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.13.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.13.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 2 \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.13.3

$- 2$ と $\frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 (5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.13.4

$5$ に $- 2$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.13.5

$\frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.14

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.15

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.17

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.18

$2$ を $- 10 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.19

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.19.2

共通因数を約分します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.19.3

式を書き換えます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.19.4

$- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20

${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ を移動させます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.2

${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.3

${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ を $- 5 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4

${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.21

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.21.1

共通因数を約分します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.21.2

式を書き換えます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} ((x^{2} + 1) - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.22

簡約します。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} + 1 - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.23

$x^{2}$ から $5 x^{2}$ を引きます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 4 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.24

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{5} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}}$

ステップ 4.25

指数を足して ${(x^{2} + 1)}^{5}$ に ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.25.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{5 - \frac{3}{2}}}$

ステップ 4.25.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

ステップ 4.25.3

$5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

ステップ 4.25.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 \cdot 2 - 3}{2}}}$

ステップ 4.25.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.25.5.1

$5$ に $2$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{10 - 3}{2}}}$

ステップ 4.25.5.2

$10$ から $3$ を引きます。

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

ステップ 4.26

$- 3$ と $\frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{- 3 (- 4 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

ステップ 4.27

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{(3) (- 4 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

ステップ 4.28

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.28.1

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = - \frac{3 (- 4 x^{2}) + 3 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

ステップ 4.28.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.28.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{- 12 x^{2} + 3 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

ステップ 4.28.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{- 12 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $- \frac{- 12 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ です。

$- \frac{- 12 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例