微分積分例

$\int x^{4} e^{x^{5}} d x$

ステップ 1

$u_{2} = e^{x^{5}}$ とします。次に $d u_{2} = 5 x^{4} e^{x^{5}} d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u_{2} = x^{4} e^{x^{5}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = e^{x^{5}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$e^{x^{5}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{5}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{5}$ で置き換えます。

$e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{5}} (5 x^{4})$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$e^{x^{5}} (5 x^{4})$ の因数を並べ替えます。

$5 e^{x^{5}} x^{4}$

ステップ 1.1.4.2

$5 e^{x^{5}} x^{4}$ の因数を並べ替えます。

$5 x^{4} e^{x^{5}}$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{5} d u_{2}$

ステップ 2

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{5} u_{2} + C$

ステップ 3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{x^{5}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} e^{x^{5}} + C$

微分積分 例