微分積分例

$\int 3 {(2 t + 5)}^{3} d t$

ステップ 1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int {(2 t + 5)}^{3} d t$

ステップ 2

$u = 2 t + 5$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 2 t + 5$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$2 t + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t + 5]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $2 t + 5$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$ です。

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$5$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

$u^{3}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$3 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{2} \int u^{3} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ を $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 4} u^{4} + C$

ステップ 7.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{3}{8} u^{4} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $2 t + 5$ で置き換えます。

$\frac{3}{8} {(2 t + 5)}^{4} + C$

微分積分 例

微分積分例