微分積分例

$\int_{- 4}^{4} \sqrt{16 - x^{2}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 4 \sin (t)$ とします。次に $d x = 4 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $4 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を $4 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.3

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$16$ を $16$ で因数分解します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$16$ を $- 16 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$16$ を $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$16 \cos^{2} (t)$ を ${(4 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 2.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.3

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

ステップ 2.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 2.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos^{2} (t) d t$

ステップ 3

$16$ は $t$ に対して定数なので、 $16$ を積分の外に移動させます。

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

ステップ 4

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$16 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $16$ をまとめます。

$\frac{16}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{8}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$8 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$8 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

ステップ 9

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 9.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 9.2

$u = 2 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

ステップ 9.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1

$- \frac{π}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

ステップ 9.3.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

ステップ 9.3.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = - π$

ステップ 9.4

$u = 2 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 9.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 9.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

ステップ 9.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

ステップ 9.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 10

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

ステップ 12

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

ステップ 13

$\frac{1}{2}$ と $\sin (u)]_{- π}^{π}$ をまとめます。

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

ステップ 14

代入し簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{π}{2}$ および $- \frac{π}{2}$ で $t$ の値を求めます。

$8 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

ステップ 14.2

$π$ および $- π$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$8 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

ステップ 14.3

簡約します。

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ステップ 14.3.1

公分母の分子をまとめます。

$8 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

ステップ 14.3.2

$π$ と $π$ をたし算します。

$8 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

ステップ 14.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.3.1

共通因数を約分します。

$8 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

ステップ 14.3.3.2

$π$ を $1$ で割ります。

$8 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$8 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

分子を簡約します。

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ステップ 15.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$8 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

ステップ 15.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$8 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

ステップ 15.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$8 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

ステップ 15.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$8 (π + \frac{0 - 0}{2})$

ステップ 15.1.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$8 (π + \frac{0 + 0}{2})$

ステップ 15.1.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$8 (π + \frac{0}{2})$

ステップ 15.2

$0$ を $2$ で割ります。

$8 (π + 0)$

ステップ 16

$π$ と $0$ をたし算します。

$8 π$

ステップ 17

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$8 π$

10進法形式：

$25.13274122 \dots$

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例