微分積分例

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

ステップ 1

$u = \arctan (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

$x$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 3.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 3.2

$u = x^{2} + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 3.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 3.4

$u = x^{2} + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 3.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 4.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ および $0$ で $\arctan (x) x$ の値を求めます。

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

ステップ 7.2

$2$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$\arctan (1)$ に $1$ をかけます。

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 7.3.2

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 7.3.3

$0$ に $\arctan (0)$ をかけます。

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 7.3.4

$\arctan (1)$ と $0$ をたし算します。

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

ステップ 8.2

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

ステップ 9.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

ステップ 9.3

$2$ を $1$ で割ります。

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

ステップ 10

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

10進法形式：

$0.43882457 \dots$

微分積分 例

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