微分積分例

$\int_{0}^{2 π} t^{2} \sin (2 t) d t$

ステップ 1

$u = t^{2}$ と $d v = \sin (2 t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$t^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 t))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\cos (2 t)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$t^{2} (- \frac{\cos (2 t)}{2})]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

ステップ 2.2

$t^{2}$ と $\frac{\cos (2 t)}{2}$ をまとめます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

ステップ 3

$- \frac{1}{2} \cdot 2$ は $t$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

ステップ 4.2

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{- 2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

ステップ 4.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{- 1}{1} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

ステップ 4.3.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - - \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

ステップ 4.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + 1 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

ステップ 4.5

$\int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$ に $1$ をかけます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

ステップ 5

$u = t$ と $d v = \cos (2 t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + t (\frac{1}{2} \sin (2 t))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 t)$ をまとめます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + t \frac{\sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

ステップ 6.2

$t$ と $\frac{\sin (2 t)}{2}$ をまとめます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (2 t) d t)$

ステップ 8

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 8.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 8.2

$u = 2 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 8.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 8.4

$u = 2 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 (2 π)$

ステップ 8.5

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 4 π$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

ステップ 8.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 9

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u)$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

ステップ 12

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

ステップ 13

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π}$ と $\frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π}$ をまとめます。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

ステップ 14

代入し簡約します。

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ステップ 14.1

$2 π$ および $0$ で $- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2} + \frac{t \sin (2 t)}{2}$ の値を求めます。

$(- \frac{{(2 π)}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2}) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

ステップ 14.2

$4 π$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$(- \frac{{(2 π)}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2}) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$- \frac{{(2 (π))}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.2

積の法則を $2 (π)$ に当てはめます。

$- \frac{2^{2} π^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{4 π^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.4

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{4 π^{2} \cos (4 π)}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.5

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.5.1

$2$ を $4 π^{2} \cos (4 π)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2 (1)} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2 \cdot 1} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 π^{2} \cos (4 π)}{1} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.5.2.4

$2 π^{2} \cos (4 π)$ を $1$ で割ります。

$- (2 π^{2} \cos (4 π)) + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (π^{2} \cos (4 π)) + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.7

$2$ に $2$ をかけます。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + \frac{2 π \sin (4 π)}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.8.1

共通因数を約分します。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + \frac{2 π \sin (4 π)}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.8.2

$π \sin (4 π)$ を $1$ で割ります。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.9

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.10

$2$ に $0$ をかけます。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.11

$0$ に $\cos (0)$ をかけます。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.12

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.12.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.12.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.12.2.2

共通因数を約分します。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.12.2.3

式を書き換えます。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0}{1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.12.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- 0 + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.13

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.14

$2$ に $0$ をかけます。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0 \sin (0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.15

$0$ に $\sin (0)$ をかけます。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.16

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.16.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.16.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.16.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.16.2.2

共通因数を約分します。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.16.2.3

式を書き換えます。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0}{1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.16.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + 0) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.17

$0$ と $0$ をたし算します。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.18

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

ステップ 14.3.19

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π)$ と $0$ をたし算します。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + \cos (0))$

ステップ 15

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- 2 π^{2} \cos (0) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

ステップ 16.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 π^{2} \cdot 1 + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

ステップ 16.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 π^{2} + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

ステップ 16.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- 2 π^{2} + π \sin (0) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

ステップ 16.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 2 π^{2} + π \cdot 0 - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

ステップ 16.6

$π$ に $0$ をかけます。

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

ステップ 16.7

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- \cos (0) + 1)$

ステップ 16.8

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- 1 \cdot 1 + 1)$

ステップ 16.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- 1 + 1)$

ステップ 16.10

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} \cdot 0$

ステップ 16.11

$- \frac{1}{4} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.11.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 π^{2} + 0 + 0 (\frac{1}{4})$

ステップ 16.11.2

$0$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- 2 π^{2} + 0 + 0$

ステップ 16.12

$- 2 π^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 π^{2} + 0$

ステップ 16.13

$- 2 π^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 π^{2}$

ステップ 17

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 2 π^{2}$

10進法形式：

$- 19.73920880 \dots$

微分積分 例

微分積分例