微分積分例

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} + 1}{x + 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 1)}^{3} + 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 1 + 1}$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} + 1}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 1.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 1.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 1.3.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2}}{1 + 0}$

ステップ 1.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2}}{1}$

ステップ 1.4

$3 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - 1} 3 x^{2}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to - 1} x^{2}$

ステップ 2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}$

ステップ 3

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 {(- 1)}^{2}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 1$

ステップ 4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

微分積分 例

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