微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$x^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ です。

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$- x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x^{2} = - 1$

ステップ 2.3.2

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.3.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $1, - 1$ です。

$1, - 1$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = \frac{- 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

$5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = \frac{- 3}{25}$

ステップ 5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = - \frac{3}{25}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- \frac{3}{25}$ です。

$- \frac{3}{25}$

ステップ 5.3

$x = - 2$ で微分係数は $- \frac{3}{25}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 1, 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 1}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = \frac{- 0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = \frac{0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (0) = \frac{1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (0) = \frac{1}{1}$

ステップ 6.2.3

$1$ を $1$ で割ります。

$f' (0) = 1$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 6.3

$x = 0$ で微分係数は $1$ です。これは正の値なので、関数は $(- 1, 1)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 1, 1)$ で増加

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 1}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = \frac{- 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f' (2) = \frac{- 3}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$f' (2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$5$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = \frac{- 3}{25}$

ステップ 7.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (2) = - \frac{3}{25}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- \frac{3}{25}$ です。

$- \frac{3}{25}$

ステップ 7.3

$x = 2$ で微分係数は $- \frac{3}{25}$ です。これは負の値なので、関数は $(1, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(1, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 1, 1)$ で増加

$(- \infty, - 1), (1, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例