微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$6 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 72 x$ の微分係数は $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} - 24 x - 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 1.4.3

$- 72$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} - 24 x - 72 + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$2017$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2017$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{2} - 24 x - 72 + 0$

ステップ 1.5.2

$6 x^{2} - 24 x - 72$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{2} - 24 x - 72$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $6 x^{2} - 24 x - 72$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.3.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x - 24 + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 72$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 72$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x - 24 + 0$

ステップ 2.4.2

$12 x - 24$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x - 24$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 x^{2} - 24 x - 72 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$6 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.4.1

$- 72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 72 x$ の微分係数は $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} - 24 x - 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 4.1.4.3

$- 72$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} - 24 x - 72 + \frac{d}{d x} [2017]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$2017$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2017$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{2} - 24 x - 72 + 0$

ステップ 4.1.5.2

$6 x^{2} - 24 x - 72$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} - 24 x - 72$ です。

$6 x^{2} - 24 x - 72$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} - 24 x - 72 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} - 24 x - 72 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$6$ を $6 x^{2} - 24 x - 72$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) - 24 x - 72 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$6$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (- 4 x) - 72 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$6$ を $- 72$ で因数分解します。

$6 x^{2} + 6 (- 4 x) + 6 \cdot - 12 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$6$ を $6 x^{2} + 6 (- 4 x)$ で因数分解します。

$6 (x^{2} - 4 x) + 6 \cdot - 12 = 0$

ステップ 5.2.1.5

$6$ を $6 (x^{2} - 4 x) + 6 \cdot - 12$ で因数分解します。

$6 (x^{2} - 4 x - 12) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

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ステップ 5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x - 12$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 4$ です。

$- 6, 2$

ステップ 5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x - 6) (x + 2)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (x - 6) (x + 2) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 5.4

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 5.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 5.6

最終解は $6 (x - 6) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, - 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 6, - 2$

ステップ 8

$x = 6$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 (6) - 24$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$12$ に $6$ をかけます。

$72 - 24$

ステップ 9.2

$72$ から $24$ を引きます。

$48$

ステップ 10

$x = 6$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 6$ は極小値です

ステップ 11

$x = 6$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = 2 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$6$ を $3$ 乗します。

$f (6) = 2 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

ステップ 11.2.1.2

$2$ に $216$ をかけます。

$f (6) = 432 - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

ステップ 11.2.1.3

$6$ を $2$ 乗します。

$f (6) = 432 - 12 \cdot 36 - 72 \cdot 6 + 2017$

ステップ 11.2.1.4

$- 12$ に $36$ をかけます。

$f (6) = 432 - 432 - 72 \cdot 6 + 2017$

ステップ 11.2.1.5

$- 72$ に $6$ をかけます。

$f (6) = 432 - 432 - 432 + 2017$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$432$ から $432$ を引きます。

$f (6) = 0 - 432 + 2017$

ステップ 11.2.2.2

$0$ から $432$ を引きます。

$f (6) = - 432 + 2017$

ステップ 11.2.2.3

$- 432$ と $2017$ をたし算します。

$f (6) = 1585$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $1585$ です。

$y = 1585$

ステップ 12

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 (- 2) - 24$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$12$ に $- 2$ をかけます。

$- 24 - 24$

ステップ 13.2

$- 24$ から $24$ を引きます。

$- 48$

ステップ 14

$x = - 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 2$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

ステップ 15.2.1.2

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f (- 2) = - 16 - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

ステップ 15.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = - 16 - 12 \cdot 4 - 72 \cdot - 2 + 2017$

ステップ 15.2.1.4

$- 12$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = - 16 - 48 - 72 \cdot - 2 + 2017$

ステップ 15.2.1.5

$- 72$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = - 16 - 48 + 144 + 2017$

ステップ 15.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$- 16$ から $48$ を引きます。

$f (- 2) = - 64 + 144 + 2017$

ステップ 15.2.2.2

$- 64$ と $144$ をたし算します。

$f (- 2) = 80 + 2017$

ステップ 15.2.2.3

$80$ と $2017$ をたし算します。

$f (- 2) = 2097$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $2097$ です。

$y = 2097$

ステップ 16

$f (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$ の極値です。

$(6, 1585)$ は極小値です

$(- 2, 2097)$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例