微分積分例

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = 2 x^{2} + 3$ および $g (x) = 4 x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$4$ を $4 x^{2} + 5$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

総和則では、 $4 x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.10

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.11

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.1

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.12.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.3

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.5

$2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.6

$- 8$ に $3$ をかけます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.2

$16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1

$16 x^{3}$ から $16 x^{3}$ を引きます。

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.2.2

$20 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.3

$20 x$ から $24 x$ を引きます。

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(4 x^{2} + 5)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.3.3

${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 4 x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x^{2} + 5$ とします。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $4 x^{2} + 5$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.5.2

$4 x^{2} + 5$ を ${(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.2.1

$4 x^{2} + 5$ を ${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.5.2.2

$4 x^{2} + 5$ を $- 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.5.2.3

$4 x^{2} + 5$ を $(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.6

共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

$4 x^{2} + 5$ を ${(4 x^{2} + 5)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.6.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $4 x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.8

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.10

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.11

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.12

式を簡約します。

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ステップ 2.12.1

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2

$8$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x \cdot x}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.13

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.14

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.16

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.17

$4 x^{2}$ から $16 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - 4 \frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18

$- 4$ と $\frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.19

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.20

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.20.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.20.2.1

$- 12$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.20.2.2

$4$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.20.3

$4$ を $- 48 x^{2} + 20$ で因数分解します。

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ステップ 2.20.3.1

$4$ を $- 48 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.20.3.2

$4$ を $20$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.20.3.3

$4$ を $4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.20.4

$- 1$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.20.5

$5$ を $- 1 (- 5)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) - 1 \cdot - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.20.6

$- 1$ を $- (12 x^{2}) - 1 (- 5)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.20.7

$- (12 x^{2} - 5)$ を $- 1 (12 x^{2} - 5)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.20.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.20.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}})$

ステップ 2.20.10

$\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $2 x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6.2

$4$ を $4 x^{2} + 5$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.7

総和則では、 $4 x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.8

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.10

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.11

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.12.1

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.12.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.3

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.5

$2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.6

$- 8$ に $3$ をかけます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.2

$16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.2.1

$16 x^{3}$ から $16 x^{3}$ を引きます。

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.2.2

$20 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.3

$20 x$ から $24 x$ を引きます。

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ です。

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$4 x = 0$

ステップ 5.3

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{4}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4 (12 {(0)}^{2} - 5)}{{(4 {(0)}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4 (12 \cdot 0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 9.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 (0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 9.1.3

$0$ から $5$ を引きます。

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0 + 5)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 5)}^{3}}$

ステップ 9.2.3

$0$ と $5$ をたし算します。

$\frac{4 \cdot - 5}{5^{3}}$

ステップ 9.2.4

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{4 \cdot - 5}{125}$

ステップ 9.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 9.3.1

$4$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{- 20}{125}$

ステップ 9.3.2

$- 20$ と $125$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1

$5$ を $- 20$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 4)}{125}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1

$5$ を $125$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

ステップ 9.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

ステップ 9.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 4}{25}$

ステップ 9.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{25}$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2} + 3}{4 {(0)}^{2} + 5}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

ステップ 11.2.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

ステップ 11.2.1.3

$0$ と $3$ をたし算します。

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

ステップ 11.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0 + 5}$

ステップ 11.2.2.2

$4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{3}{0 + 5}$

ステップ 11.2.2.3

$0$ と $5$ をたし算します。

$f (0) = \frac{3}{5}$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $\frac{3}{5}$ です。

$y = \frac{3}{5}$

ステップ 12

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$ の極値です。

$(0, \frac{3}{5})$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例