微分積分例

$\frac{\sqrt{x} + x}{x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2}}]$

ステップ 2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} + x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{x^{2}}]$

ステップ 2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{1}}{x^{2}}]$

ステップ 2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}]$

ステップ 2.4

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}]$

ステップ 3

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}]$

ステップ 4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}}]$

ステップ 4.5.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}]$

ステップ 5

$f (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

ステップ 6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 6.2

総和則では、 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 6.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 6.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ をたし算します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 6.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 13

$x^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 14

指数を足して $x^{\frac{3}{2}}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 14.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{3 - 1}{2}}}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 14.3

$3$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 14.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{x^{1}}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 15

$x^{1}$ を簡約します。

$\frac{\frac{x}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 16

$\frac{\frac{x}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 17

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

まとめる。

$\frac{2 (\frac{x}{2} - (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])}{2 x^{3}}$

ステップ 17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \frac{x}{2} + 2 (- (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])}{2 x^{3}}$

ステップ 17.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{x}{2} + 2 (- (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])}{2 x^{3}}$

ステップ 17.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 2 (- (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])}{2 x^{3}}$

ステップ 17.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x - 2 ((1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])}{2 x^{3}}$

ステップ 18

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{2 x^{3}}$

ステップ 19

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 20

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 21

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 22

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 22.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 23

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x - 2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

ステップ 24

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{x + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 25

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{x + \frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 26

$2$ を $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 27

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{x + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 27.2

共通因数を約分します。

$\frac{x + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 27.3

式を書き換えます。

$\frac{x + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 27.4

$- 3 x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 28

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

ステップ 28.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.2.1.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

ステップ 28.2.1.2

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.2.1.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 28.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

ステップ 28.2.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{3}}$

ステップ 28.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{3}}$

ステップ 28.2.1.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{1}}{2 x^{3}}$

ステップ 28.2.1.3

$- 3 x^{1}$ を簡約します。

$\frac{x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x}{2 x^{3}}$

ステップ 28.2.2

$x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{- 2 x - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

ステップ 28.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.3.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 2 x - 3 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.3.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

ステップ 28.3.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3}{2 x^{3}}$

ステップ 28.3.1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - 3)}{2 x^{3}}$

ステップ 28.3.2

$- 1$ を $- 2 x^{\frac{1}{2}} - 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.3.2.1

$- 1$ を $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - 3)}{2 x^{3}}$

ステップ 28.3.2.2

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (3))}{2 x^{3}}$

ステップ 28.3.2.3

$- 1$ を $- (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (3)$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3))}{2 x^{3}}$

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{3}}$

ステップ 28.3.3

負をくくり出します。

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{3}}$

ステップ 28.4

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 28.5

指数を足して $x^{3}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.5.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

ステップ 28.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

ステップ 28.5.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

ステップ 28.5.4

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 28.5.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 28.5.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.5.6.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

ステップ 28.5.6.2

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 28.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例