微分積分例

$\frac{x + y}{x - y}$

ステップ 1

$f (x) = x + y$ および $g (x) = x - y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 2.3

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - y) (1 + 0) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$x - y$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - y - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{x - y - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - y - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 2.7

$- y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - y - (x + y) (1 + 0)}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - y - (x + y) \cdot 1}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - y - (x + y)}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - y - x - y}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x - y - x - y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{- y + 0 - y}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

$- y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- y - y}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- y$ から $y$ を引きます。

$\frac{- 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 y}{{(x - y)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例