微分積分例

$s = t^{2} \ln (| t |)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} \ln (| t |))$

ステップ 2

$t$ に関する $s$ の微分係数は $s'$ です。

$s'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \ln (| t |)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (| t |)] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.2

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = | t |$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $| t |$ とします。

$t^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$t^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $| t |$ で置き換えます。

$t^{2} (\frac{1}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.3

$\frac{1}{| t |}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$\frac{t^{2}}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.4

$t$ に関する $| t |$ の微分係数は $\frac{t}{| t |}$ です。

$\frac{t^{2}}{| t |} \cdot \frac{t}{| t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.5

$\frac{t^{2}}{| t |}$ に $\frac{t}{| t |}$ をかけます。

$\frac{t^{2} t}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.6

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

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ステップ 3.6.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{t^{2} t^{1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{t^{2 + 1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.6.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{t^{3}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.7

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{t^{3}}{| t \cdot t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.8

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{t^{3}}{| t^{1} t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.9

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{t^{3}}{| t^{1} t^{1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{t^{3}}{| t^{1 + 1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) (2 t)$

ステップ 3.13

簡約します。

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ステップ 3.13.1

項を並べ替えます。

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + 2 t \ln (| t |)$

ステップ 3.13.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.13.2.1

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{t^{3}}{t^{2}} + 2 t \ln (| t |)$

ステップ 3.13.2.2

$t^{3}$ と $t^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.13.2.2.1

$t^{2}$ を $t^{3}$ で因数分解します。

$\frac{t^{2} t}{t^{2}} + 2 t \ln (| t |)$

ステップ 3.13.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.13.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{t^{2} t}{t^{2} \cdot 1} + 2 t \ln (| t |)$

ステップ 3.13.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{t^{2} t}{t^{2} \cdot 1} + 2 t \ln (| t |)$

ステップ 3.13.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{t}{1} + 2 t \ln (| t |)$

ステップ 3.13.2.2.2.4

$t$ を $1$ で割ります。

$t + 2 t \ln (| t |)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$s' = t + 2 t \ln (| t |)$

ステップ 5

$s'$ を $\frac{d s}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d s}{d t} = t + 2 t \ln (| t |)$

微分積分 例

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