微分積分例

$x y^{2} = 4$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

ステップ 2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 x y y' + y^{2}$

ステップ 2.6.2

項を並べ替えます。

$y^{2} + 2 x y y'$

ステップ 3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y^{2} + 2 x y y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$2 x y y' = - y^{2}$

ステップ 5.2

$2 x y y' = - y^{2}$ の各項を $2 x y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 x y y' = - y^{2}$ の各項を $2 x y$ で割ります。

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 5.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 5.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 5.2.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 5.2.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y)}{2 x y}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

$y$ を $2 x y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y}{2 x}$

ステップ 5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y}{2 x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$

微分積分 例

微分積分例