微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{2 x} + e^{- 2 x}} d x$

ステップ 1

$u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ とします。次に $d u_{3} = (2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{3} = (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$e^{2 x} + e^{- 2 x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + e^{- 2 x}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 1.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 1.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 1.1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 1.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 1.1.3.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 2 x$ とします。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.4.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.4.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

ステップ 1.1.4.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

ステップ 1.1.4.5

$- 2$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$

ステップ 1.2

$u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = e^{0} + e^{- 2 \cdot 0}$

ステップ 1.3.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$u_{lower} = 1 + e^{- 2 \cdot 0}$

ステップ 1.3.1.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

ステップ 1.3.1.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$u_{lower} = 1 + 1$

ステップ 1.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = e^{2 \cdot 1} + e^{- 2 \cdot 1}$

ステップ 1.5

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2}$

ステップ 1.5.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

ステップ 1.7

$u_{3}$ 、 $d u_{3}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u_{3}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

ステップ 2.2

$2$ を $u_{3}$ の左に移動させます。

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 4

$\frac{1}{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\ln (| u_{3} |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)]_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}$

ステップ 5

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ および $2$ で $\ln (| u_{3} |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (\ln (| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |) - \ln (| 2 |))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と $\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})}{2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ は約 $7.52439138$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{\ln (\frac{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

ステップ 7.1.2

$e^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{2}}{e^{2}}$ を掛けます。

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2}}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

ステップ 7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

ステップ 7.1.4

指数を足して $e^{2}$ に $e^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.1.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2 + 2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

ステップ 7.1.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

ステップ 7.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{2})}{2}$

ステップ 7.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2})}{2}$

ステップ 7.4

$\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2} \cdot 2})}{2}$

ステップ 7.5

$2$ を $e^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

10進法形式：

$0.66250137 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例