微分積分例

$\int x^{3} e^{2 x} d x$

ステップ 1

$u = x^{3}$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x$

ステップ 2.2

$x^{3}$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2} \cdot 3$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot 3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 x} (x^{2}) d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \int e^{2 x} (x^{2}) d x$

ステップ 5

$u = x^{2}$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

ステップ 6.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x)$

ステップ 6.4

$2$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x)$

ステップ 6.5

$\frac{2 e^{2 x}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

ステップ 6.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

ステップ 6.6.2

$e^{2 x} x$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x)$

ステップ 7

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

ステップ 8.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

ステップ 8.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x))$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)))$

ステップ 10

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 10.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u))$

ステップ 11

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u))$

ステップ 13.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

ステップ 14

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$ を $\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$

ステップ 15.2

簡約します。

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ステップ 15.2.1

$- \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 15.2.2

$- \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{- \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 15.2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x} - 2 (\frac{3}{2}) (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

ステップ 15.2.5

$- 2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

ステップ 15.2.6

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{- 6}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

ステップ 15.2.7

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.7.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{2 \cdot - 3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

ステップ 15.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

ステップ 15.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

ステップ 15.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{- 3}{1} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

ステップ 15.2.7.2.4

$- 3$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

ステップ 16

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} x e^{2 x} + \frac{1}{4} e^{2 x})) + C$

微分積分 例

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