微分積分例

$\int t e^{- 8 t} d t$

ステップ 1

$u = t$ と $d v = e^{- 8 t}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$t (- \frac{1}{8} e^{- 8 t}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 t} d t$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$e^{- 8 t}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$t (- \frac{e^{- 8 t}}{8}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 t} d t$

ステップ 2.2

$t$ と $\frac{e^{- 8 t}}{8}$ をまとめます。

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 t} d t$

ステップ 3

$- \frac{1}{8}$ は $t$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} - (- \frac{1}{8} \int e^{- 8 t} d t)$

ステップ 4

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} + 1 (\frac{1}{8} \int e^{- 8 t} d t)$

ステップ 4.2

$\frac{1}{8}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{- 8 t} d t$

ステップ 5

$u = - 8 t$ とします。次に $d u = - 8 d t$ すると、 $- \frac{1}{8} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - 8 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$- 8 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [- 8 t]$

ステップ 5.1.2

$- 8$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 8 t$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 8 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

ステップ 6.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} + \frac{1}{8} \int - \frac{e^{u}}{8} d u$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} + \frac{1}{8} (- \int \frac{e^{u}}{8} d u)$

ステップ 8

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int e^{u} d u))$

ステップ 9

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ステップ 9.1

$\frac{1}{8}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int e^{u} d u$

ステップ 9.2

$8$ に $8$ をかけます。

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} - \frac{1}{64} \int e^{u} d u$

ステップ 10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C)$

ステップ 11

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ステップ 11.1

$- \frac{t e^{- 8 t}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C)$ を $- \frac{1}{8} t e^{- 8 t} - \frac{1}{64} e^{u} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{8} t e^{- 8 t} - \frac{1}{64} e^{u} + C$

ステップ 11.2

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ステップ 11.2.1

$t$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$- \frac{t}{8} e^{- 8 t} - \frac{1}{64} e^{u} + C$

ステップ 11.2.2

$e^{- 8 t}$ と $\frac{t}{8}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- 8 t} t}{8} - \frac{1}{64} e^{u} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $- 8 t$ で置き換えます。

$- \frac{e^{- 8 t} t}{8} - \frac{1}{64} e^{- 8 t} + C$

ステップ 13

$e^{- 8 t}$ と $\frac{1}{64}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- 8 t} t}{8} - \frac{e^{- 8 t}}{64} + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{8} e^{- 8 t} t - \frac{1}{64} e^{- 8 t} + C$

微分積分 例

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