微分積分例

$f (x) = \sqrt{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

ステップ 2.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 2.3

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

ステップ 2.7.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 2.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 2.10

$\frac{1}{2}$ に $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

ステップ 2.11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ の微分係数は $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ です。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ を ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

ステップ 3.2.2

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

ステップ 3.2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

ステップ 3.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 3.3

$n = - \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

ステップ 3.7.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

ステップ 3.9

$x^{- \frac{5}{2}}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

ステップ 3.10

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

ステップ 3.10.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

ステップ 3.11

$\frac{1}{4}$ に $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{4 \cdot 2}$

ステップ 3.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

$4$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{8}$

ステップ 3.12.2

$3$ を $x^{- \frac{5}{2}}$ の左に移動させます。

$f''' (x) = \frac{3 \cdot x^{- \frac{5}{2}}}{8}$

ステップ 3.12.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{2}}$ を分母に移動させます。

$f''' (x) = \frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{3}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}$ の微分係数は $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}})$

ステップ 4.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ を ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1})$

ステップ 4.2.2

${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2} \cdot - 1})$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{5}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$\frac{5}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}})$

ステップ 4.2.2.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 5}{2}})$

ステップ 4.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{5}{2}})$

ステップ 4.3

$n = - \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

ステップ 4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 4.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

ステップ 4.7.2

$- 5$ から $2$ を引きます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

ステップ 4.8

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

ステップ 4.9

$x^{- \frac{7}{2}}$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

ステップ 4.10

$\frac{3}{8}$ に $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{3 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{8 \cdot 2}$

ステップ 4.11

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.1

$5$ に $3$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{15 x^{- \frac{7}{2}}}{8 \cdot 2}$

ステップ 4.11.2

$8$ に $2$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{15 x^{- \frac{7}{2}}}{16}$

ステップ 4.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{7}{2}}$ を分母に移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $- \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$ です。

$- \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例