微分積分例

$x^{3} y^{3} - y = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{3} - y) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} y^{3} - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{3} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (3 y^{2} y') + y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.5

$3$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$3 \cdot x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.6

$3$ を $y^{3}$ の左に移動させます。

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} - \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} - y'$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} - y' = 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $3 y^{3} x^{2}$ を引きます。

$3 x^{3} y^{2} y' - y' = 1 - 3 y^{3} x^{2}$

ステップ 5.2

$y'$ を $3 x^{3} y^{2} y' - y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $3 x^{3} y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (3 x^{3} y^{2}) - y' = 1 - 3 y^{3} x^{2}$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' \cdot - 1 = 1 - 3 y^{3} x^{2}$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (3 x^{3} y^{2}) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (3 x^{3} y^{2} - 1) = 1 - 3 y^{3} x^{2}$

ステップ 5.3

$y' (3 x^{3} y^{2} - 1) = 1 - 3 y^{3} x^{2}$ の各項を $3 x^{3} y^{2} - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (3 x^{3} y^{2} - 1) = 1 - 3 y^{3} x^{2}$ の各項を $3 x^{3} y^{2} - 1$ で割ります。

$\frac{y' (3 x^{3} y^{2} - 1)}{3 x^{3} y^{2} - 1} = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} - 1} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} - 1}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3 x^{3} y^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 x^{3} y^{2} - 1)}{3 x^{3} y^{2} - 1} = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} - 1} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} - 1}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} - 1} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} - 1}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} - 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} - 1}$

微分積分 例

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