微分積分例

$x^{2} y + x y^{2} = 6$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + x y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} y + x y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.2.4

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} y' + 2 y x + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x^{2} y' + 2 y x + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

ステップ 2.3.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

ステップ 2.3.6

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} y' + 2 y x + 2 x y y' + y^{2}$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y'$

ステップ 3

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = - y^{2}$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$x^{2} y' + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

ステップ 5.2

$x y'$ を $x^{2} y' + 2 x y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x y'$ を $x^{2} y'$ で因数分解します。

$x y' x + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

ステップ 5.2.2

$x y'$ を $2 x y y'$ で因数分解します。

$x y' x + x y' (2 y) = - y^{2} - 2 x y$

ステップ 5.2.3

$x y'$ を $x y' x + x y' (2 y)$ で因数分解します。

$x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$

ステップ 5.3

$x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ の各項を $x (x + 2 y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ の各項を $x (x + 2 y)$ で割ります。

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.2.2

$x + 2 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 y}{x + 2 y}$

ステップ 5.3.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y}$

ステップ 5.3.3.2

$- \frac{2 y}{x + 2 y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 5.3.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (x + 2 y)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.3.3.1

$\frac{2 y}{x + 2 y}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x}$

ステップ 5.3.3.3.2

$(x + 2 y) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.3.5

$y$ を $- y^{2} - 2 y x$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.5.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.3.5.2

$y$ を $- 2 y x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.3.5.3

$y$ を $y (- y) + y (- 2 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.3.6

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.3.7

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.3.8

$- 1$ を $- (y) - (2 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.3.9

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.9.1

$- (y + 2 x)$ を $- 1 (y + 2 x)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

ステップ 5.3.3.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$

微分積分 例

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