微分積分例

$e^{x} - e^{- x}$

ステップ 1

総和則では、 $e^{x} - e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$e^{x} - - e^{- x}$

ステップ 3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x} + 1 e^{- x}$

ステップ 3.9

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$e^{x} + e^{- x}$

微分積分 例