微分積分 例

極大値と極小値を求める f(x)=( x)/xの自然対数
ステップ 1
関数の一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
およびのとき、であるという商の法則を使って微分します。
ステップ 1.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 1.3
べき乗則を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.3.1
をまとめます。
ステップ 1.3.2
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.3.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 1.3.2.2
式を書き換えます。
ステップ 1.3.3
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.3.4
をかけます。
ステップ 2
関数の二次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
およびのとき、であるという商の法則を使って微分します。
ステップ 2.2
微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.1
の指数を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.1.1
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 2.2.1.2
をかけます。
ステップ 2.2.2
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 2.2.3
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 2.2.4
をたし算します。
ステップ 2.2.5
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.3
に関するの微分係数はです。
ステップ 2.4
べき乗則を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.1
をまとめます。
ステップ 2.4.2
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.2.1
で因数分解します。
ステップ 2.4.2.2
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.2.2.1
乗します。
ステップ 2.4.2.2.2
で因数分解します。
ステップ 2.4.2.2.3
共通因数を約分します。
ステップ 2.4.2.2.4
式を書き換えます。
ステップ 2.4.2.2.5
で割ります。
ステップ 2.4.3
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.4.4
くくりだして簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.4.1
をかけます。
ステップ 2.4.4.2
で因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.4.2.1
で因数分解します。
ステップ 2.4.4.2.2
で因数分解します。
ステップ 2.4.4.2.3
で因数分解します。
ステップ 2.5
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.5.1
で因数分解します。
ステップ 2.5.2
共通因数を約分します。
ステップ 2.5.3
式を書き換えます。
ステップ 2.6
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.6.1
分配則を当てはめます。
ステップ 2.6.2
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.6.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.6.2.1.1
をかけます。
ステップ 2.6.2.1.2
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.6.2.1.2.1
をかけます。
ステップ 2.6.2.1.2.2
対数の中のを移動させてを簡約します。
ステップ 2.6.2.2
からを引きます。
ステップ 2.6.3
に書き換えます。
ステップ 2.6.4
で因数分解します。
ステップ 2.6.5
で因数分解します。
ステップ 2.6.6
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 3
微分係数をと等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。
ステップ 4
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.1
およびのとき、であるという商の法則を使って微分します。
ステップ 4.1.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 4.1.3
べき乗則を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.3.1
をまとめます。
ステップ 4.1.3.2
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.3.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 4.1.3.2.2
式を書き換えます。
ステップ 4.1.3.3
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.3.4
をかけます。
ステップ 4.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 5
一次導関数をと等しくし、次に方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 5.2
分子を0に等しくします。
ステップ 5.3
について方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 5.3.2
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.2.1
の各項をで割ります。
ステップ 5.3.2.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.2.2.1
2つの負の値を割ると正の値になります。
ステップ 5.3.2.2.2
で割ります。
ステップ 5.3.2.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.2.3.1
で割ります。
ステップ 5.3.3
について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。
ステップ 5.3.4
対数の定義を利用してを指数表記に書き換えます。が正の実数でならば、と同値です。
ステップ 5.3.5
方程式をとして書き換えます。
ステップ 6
微分係数が未定義になる値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
の分母をに等しいとして、式が未定義である場所を求めます。
ステップ 6.2
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.1
方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。
ステップ 6.2.2
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.2.1
に書き換えます。
ステップ 6.2.2.2
正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 6.2.2.3
プラスマイナスです。
ステップ 6.3
の偏角をより小さいとして、式が未定義である場所を求めます。
ステップ 6.4
分母がに等しい、平方根の引数がより小さい、または対数の引数が以下の場合、方程式は未定義です。
ステップ 7
値を求める臨界点です。
ステップ 8
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 9
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1
対数の法則を利用して指数の外にを移動します。
ステップ 9.2
の自然対数はです。
ステップ 9.3
をかけます。
ステップ 9.4
をかけます。
ステップ 9.5
からを引きます。
ステップ 10
は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極大値です
ステップ 11
のときy値を求めます。
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ステップ 11.1
式の変数で置換えます。
ステップ 11.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1
の自然対数はです。
ステップ 11.2.2
最終的な答えはです。
ステップ 12
の極値です。
は極大値です
ステップ 13