微分積分例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 6 x + 0$

ステップ 1.3.2

$3 x^{2} - 6 x$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 6 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 6 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 6$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 6 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 0$

ステップ 4.1.3.2

$3 x^{2} - 6 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 6 x$ です。

$3 x^{2} - 6 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 6 x = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 6 x = 0$

ステップ 5.2

$3 x$ を $3 x^{2} - 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) - 6 x = 0$

ステップ 5.2.2

$3 x$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

ステップ 5.2.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (- 2)$ で因数分解します。

$3 x (x - 2) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5.6

最終解は $3 x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 2$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (0) - 6$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$6$ に $0$ をかけます。

$0 - 6$

ステップ 9.2

$0$ から $6$ を引きます。

$- 6$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 11.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

ステップ 11.2.1.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

ステップ 11.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 11.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 12

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (2) - 6$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$6$ に $2$ をかけます。

$12 - 6$

ステップ 13.2

$12$ から $6$ を引きます。

$6$

ステップ 14

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 15

$x = 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = 8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 8 - 3 \cdot 4 + 1$

ステップ 15.2.1.3

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 8 - 12 + 1$

ステップ 15.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 15.2.2.1

$8$ から $12$ を引きます。

$f (2) = - 4 + 1$

ステップ 15.2.2.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f (2) = - 3$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$y = - 3$

ステップ 16

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ の極値です。

$(0, 1)$ は極大値です

$(2, - 3)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例