微分積分例

$f (x) = x \ln (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \ln (x) \cdot 1$

ステップ 1.3.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$1 + \ln (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $1 + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

ステップ 2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$1 + \ln (x) = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2.2

式を書き換えます。

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \ln (x) \cdot 1$

ステップ 4.1.3.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $1 + \ln (x)$ です。

$1 + \ln (x)$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 + \ln (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$1 + \ln (x) = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\ln (x) = - 1$

ステップ 5.3

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

ステップ 5.4

対数の定義を利用して $\ln (x) = - 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 1} = x$

ステップ 5.5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.5.1

方程式を $x = e^{- 1}$ として書き換えます。

$x = e^{- 1}$

ステップ 5.5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 6.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{1}{e}$

ステップ 8

$x = \frac{1}{e}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 e$

ステップ 9.2

$e$ に $1$ をかけます。

$e$

ステップ 10

$x = \frac{1}{e}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{1}{e}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{1}{e}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{e}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\frac{1}{e}$ を $1 e^{- 1}$ に書き換えます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

ステップ 11.2.2

$\ln (1 e^{- 1})$ を $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ に書き換えます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

ステップ 11.2.3

対数の法則を利用して指数の外に $- 1$ を移動します。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

ステップ 11.2.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

ステップ 11.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

ステップ 11.2.6

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

ステップ 11.2.7

$0$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

ステップ 11.2.8

$\frac{1}{e}$ と $- 1$ をまとめます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

ステップ 11.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

ステップ 11.2.10

最終的な答えは $- \frac{1}{e}$ です。

$y = - \frac{1}{e}$

ステップ 12

$f (x) = x \ln (x)$ の極値です。

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例