微分積分例

$\int_{64}^{8} 1 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

ステップ 1

$\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ に $1$ をかけます。

$\int_{64}^{8} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

ステップ 2

$\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ を積として書き換えます。

$\int_{64}^{8} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

ステップ 3

$u = \ln (y)$ と $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

ステップ 4.2

$y^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{y}$ をまとめます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

ステップ 4.3

$2$ を $y^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

ステップ 4.4

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

ステップ 4.5

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

ステップ 4.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

ステップ 4.5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

ステップ 4.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

ステップ 4.5.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

ステップ 5

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - (2 \int_{64}^{8} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

ステップ 6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

ステップ 6.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

ステップ 6.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

ステップ 6.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

ステップ 6.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{- \frac{1}{2}} d y$

ステップ 7

べき乗則では、 $y^{- \frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $2 y^{\frac{1}{2}}$ です。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{64}^{8})$

ステップ 8

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$8$ および $64$ で $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ の値を求めます。

$(\ln (8) (2 \cdot 8^{\frac{1}{2}})) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{64}^{8})$

ステップ 8.2

$8$ および $64$ で $2 y^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$(\ln (8) (2 \cdot 8^{\frac{1}{2}})) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\ln (8) (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2

${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (8) (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (8) (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (8) \cdot 2^{1 + \frac{3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{2 + 3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.6

$2$ と $3$ をたし算します。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.8

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.9.1

共通因数を約分します。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.9.2

式を書き換えます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{1}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.10

指数を求めます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.11

$2$ に $8$ をかけます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) \cdot 16 - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.12

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.13

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.14

${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.14.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.14.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.16

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.17

公分母の分子をまとめます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.18

$2$ と $3$ をたし算します。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.19

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.20

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})})$

ステップ 8.3.21

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.21.1

共通因数を約分します。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})})$

ステップ 8.3.21.2

式を書き換えます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{1})$

ステップ 8.3.22

指数を求めます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8)$

ステップ 8.3.23

$- 2$ に $8$ をかけます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

ステップ 9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\ln (64)$ を $\ln (2^{6})$ に書き換えます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (2^{6}) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

ステップ 9.2

$6$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{6})$ を展開します。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 (6 \ln (2)) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

ステップ 9.3

$6$ に $- 16$ をかけます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

ステップ 9.4

分配則を当てはめます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

ステップ 9.5

$- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

負をくくり出します。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 16$

ステップ 9.5.2

$2$ を $1$ 乗します。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 16$

ステップ 9.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

ステップ 9.5.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

ステップ 9.5.5

公分母の分子をまとめます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 16$

ステップ 9.5.6

$2$ と $5$ をたし算します。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 16$

ステップ 9.6

$- 2$ に $- 16$ をかけます。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} + 32$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} + 32$

10進法形式：

$- 34.09274011 \dots$

微分積分 例

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