微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $r = 2 \tan (t)$ とします。次に $d r = 2 \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を $2 \tan (t)$ に当てはめます。

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$4$ を $4 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$4$ を $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.5

項を並べ替えます。

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.7

$4 \sec^{2} (t)$ を ${(2 \sec (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.2.1

$2 \sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

$2 \sec (t)$ を $2 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

ステップ 2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 2.2.1.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$2$ を $2 \tan (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

ステップ 2.2.2.2

積の法則を $2 (\tan (t))$ に当てはめます。

$\int_{0}^{0.4636476} 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

ステップ 2.2.2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\int_{0}^{0.4636476} 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

ステップ 3

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

ステップ 4

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 5

$\tan^{2} (t)$ を因数分解します。

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 7

簡約します。

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

ステップ 8

$u = \sec (t)$ とします。次に $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ すると、 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = \sec (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$\sec (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

ステップ 8.1.2

$t$ に関する $\sec (t)$ の微分係数は $\sec (t) \tan (t)$ です。

$\sec (t) \tan (t)$

ステップ 8.2

$u = \sec (t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sec (0)$

ステップ 8.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 8.4

$u = \sec (t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

ステップ 8.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

ステップ 8.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$8 \int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 + u^{2} d u$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$8 (\int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$- u]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ と $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ をまとめます。

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

ステップ 12.2

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$8 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

ステップ 13

代入し簡約します。

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ステップ 13.1

$\sec (0.4636476)$ および $1$ で $- u + \frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$8 ((- \sec (0.4636476) + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$- \sec (0.4636476)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$8 (- \sec (0.4636476) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 13.2.2

$- \sec (0.4636476)$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 13.2.3

公分母の分子をまとめます。

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3 + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 13.2.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 13.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 13.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

ステップ 13.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

ステップ 13.2.8

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

ステップ 13.2.9

公分母の分子をまとめます。

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

ステップ 13.2.10

分子を簡約します。

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ステップ 13.2.10.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

ステップ 13.2.10.2

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 2}{3})$

ステップ 13.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - - \frac{2}{3})$

ステップ 13.2.12

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

ステップ 13.2.13

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$- 1$ を $- 3 \sec (0.4636476)$ で因数分解します。

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 14.2

$- 1$ を $\sec^{3} (0.4636476)$ で因数分解します。

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 14.3

$- 1$ を $- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))$ で因数分解します。

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 14.4

$- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ を $- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ に書き換えます。

$8 (\frac{- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 14.5

分数の前に負数を移動させます。

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

10進法形式：

$0.11584138 \dots$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例