微分積分例

$x^{2} + y^{2} = 25$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$y^{2} = 25 - x^{2}$

ステップ 1.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$

ステップ 1.3

$\pm \sqrt{25 - x^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

ステップ 1.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5$ であり、 $b = x$ です。

$y = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 1.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 1.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 1.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \to f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \to f (x) = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 25$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (25)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

微分します。

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ステップ 3.2.1.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 2 y y'$

ステップ 3.2.3

項を並べ替えます。

$2 y y' + 2 x$

ステップ 3.3

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' + 2 x = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$2 y y' = - 2 x$

ステップ 3.5.2

$2 y y' = - 2 x$ の各項を $2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$2 y y' = - 2 x$ の各項を $2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x}{y}$

ステップ 3.5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x}{y}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

ステップ 4

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ at $x = 0$ .

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

ステップ 5.2.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \sqrt{5 (5 - (0))}$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \sqrt{5 (5 + 0)}$

ステップ 5.2.4

$5$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \sqrt{5 \cdot 5}$

ステップ 5.2.5

$5$ に $5$ をかけます。

$f (0) = \sqrt{25}$

ステップ 5.2.6

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = \sqrt{5^{2}}$

ステップ 5.2.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = 5$

ステップ 5.2.8

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ at $x = 0$ .

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = - \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

ステップ 6.2.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - \sqrt{5 (5 - (0))}$

ステップ 6.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = - \sqrt{5 (5 + 0)}$

ステップ 6.2.4

$5$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - \sqrt{5 \cdot 5}$

ステップ 6.2.5

$5$ に $5$ をかけます。

$f (0) = - \sqrt{25}$

ステップ 6.2.6

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = - \sqrt{5^{2}}$

ステップ 6.2.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = - 1 \cdot 5$

ステップ 6.2.8

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f (0) = - 5$

ステップ 6.2.9

最終的な答えは $- 5$ です。

$- 5$

ステップ 7

The horizontal tangent lines are $y = 5, y = - 5$

$y = 5, y = - 5$

ステップ 8

微分積分 例

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