微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} + 6 x - 12$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 12$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$6$ を $6 x^{2} + 6 x - 12$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$6$ を $- 12$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$6$ を $6 (x^{2}) + 6 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$6$ を $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

最終解は $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 2$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $1, - 2$ です。

$1, - 2$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} + 6 (- 3) - 12$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 + 6 (- 3) - 12$

ステップ 5.2.1.2

$6$ に $9$ をかけます。

$f' (- 3) = 54 + 6 (- 3) - 12$

ステップ 5.2.1.3

$6$ に $- 3$ をかけます。

$f' (- 3) = 54 - 18 - 12$

ステップ 5.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$54$ から $18$ を引きます。

$f' (- 3) = 36 - 12$

ステップ 5.2.2.2

$36$ から $12$ を引きます。

$f' (- 3) = 24$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $24$ です。

$24$

ステップ 5.3

$x = - 3$ で微分係数は $24$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 2)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 2, 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{2}$ で置換えます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 6.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.6.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.6.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.6.3

共通因数を約分します。

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.6.4

式を書き換えます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.7

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.8.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.8.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - 12$

ステップ 6.2.1.8.3

共通因数を約分します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - 12$

ステップ 6.2.1.8.4

式を書き換えます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1 - 12$

ステップ 6.2.1.9

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 12$

ステップ 6.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 6.2.2.1

$- 3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 12$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 12$

ステップ 6.2.2.3

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 12$

ステップ 6.2.2.4

$- 12$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1}$

ステップ 6.2.2.5

$\frac{- 12}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.2.2.6

$\frac{- 12}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 12 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 12 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.2.4.2

$- 12$ に $2$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 24}{2}$

ステップ 6.2.5

式を簡約します。

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ステップ 6.2.5.1

$3$ から $6$ を引きます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 24}{2}$

ステップ 6.2.5.2

$- 3$ から $24$ を引きます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 27}{2}$

ステップ 6.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{27}{2}$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは $- \frac{27}{2}$ です。

$- \frac{27}{2}$

ステップ 6.3

$x = - \frac{1}{2}$ で微分係数は $- \frac{27}{2}$ です。これは負の値なので、関数は $(- 2, 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 2, 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 6 {(2)}^{2} + 6 (2) - 12$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = 6 \cdot 4 + 6 (2) - 12$

ステップ 7.2.1.2

$6$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = 24 + 6 (2) - 12$

ステップ 7.2.1.3

$6$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = 24 + 12 - 12$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$24$ と $12$ をたし算します。

$f' (2) = 36 - 12$

ステップ 7.2.2.2

$36$ から $12$ を引きます。

$f' (2) = 24$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $24$ です。

$24$

ステップ 7.3

$x = 2$ で微分係数は $24$ です。これは正の値なので、関数は $(1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 2), (1, \infty)$ で増加

$(- 2, 1)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例