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微分積分 例
ステップ 1
ステップ 1.1
およびのとき、はであるという積の法則を使って微分します。
ステップ 1.2
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 1.2.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 1.2.2
=のとき、はであるという指数法則を使って微分します。
ステップ 1.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.3
微分します。
ステップ 1.3.1
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.3.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.3.3
式を簡約します。
ステップ 1.3.3.1
にをかけます。
ステップ 1.3.3.2
をの左に移動させます。
ステップ 1.3.3.3
をに書き換えます。
ステップ 1.3.4
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.4
簡約します。
ステップ 1.4.1
項を並べ替えます。
ステップ 1.4.2
の因数を並べ替えます。
ステップ 2
ステップ 2.1
総和則では、のに関する積分はです。
ステップ 2.2
の値を求めます。
ステップ 2.2.1
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.2.2
およびのとき、はであるという積の法則を使って微分します。
ステップ 2.2.3
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 2.2.3.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 2.2.3.2
=のとき、はであるという指数法則を使って微分します。
ステップ 2.2.3.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 2.2.4
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.2.5
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.2.6
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.2.7
にをかけます。
ステップ 2.2.8
をの左に移動させます。
ステップ 2.2.9
をに書き換えます。
ステップ 2.3
の値を求めます。
ステップ 2.3.1
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.3.2
およびのとき、はであるという積の法則を使って微分します。
ステップ 2.3.3
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 2.3.3.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 2.3.3.2
=のとき、はであるという指数法則を使って微分します。
ステップ 2.3.3.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 2.3.4
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.3.5
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.3.6
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.3.7
にをかけます。
ステップ 2.3.8
をの左に移動させます。
ステップ 2.3.9
をに書き換えます。
ステップ 2.3.10
にをかけます。
ステップ 2.4
簡約します。
ステップ 2.4.1
分配則を当てはめます。
ステップ 2.4.2
分配則を当てはめます。
ステップ 2.4.3
項をまとめます。
ステップ 2.4.3.1
にをかけます。
ステップ 2.4.3.2
にをかけます。
ステップ 2.4.3.3
にをかけます。
ステップ 2.4.3.4
にをかけます。
ステップ 2.4.3.5
からを引きます。
ステップ 2.4.3.5.1
を移動させます。
ステップ 2.4.3.5.2
からを引きます。
ステップ 2.4.4
項を並べ替えます。
ステップ 2.4.5
の因数を並べ替えます。
ステップ 3
微分係数をと等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。
ステップ 4
ステップ 4.1
一次導関数を求めます。
ステップ 4.1.1
およびのとき、はであるという積の法則を使って微分します。
ステップ 4.1.2
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 4.1.2.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 4.1.2.2
=のとき、はであるという指数法則を使って微分します。
ステップ 4.1.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 4.1.3
微分します。
ステップ 4.1.3.1
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 4.1.3.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.3.3
式を簡約します。
ステップ 4.1.3.3.1
にをかけます。
ステップ 4.1.3.3.2
をの左に移動させます。
ステップ 4.1.3.3.3
をに書き換えます。
ステップ 4.1.3.4
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.4
簡約します。
ステップ 4.1.4.1
項を並べ替えます。
ステップ 4.1.4.2
の因数を並べ替えます。
ステップ 4.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 5
ステップ 5.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 5.2
をで因数分解します。
ステップ 5.2.1
をで因数分解します。
ステップ 5.2.2
をで因数分解します。
ステップ 5.2.3
をで因数分解します。
ステップ 5.3
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 5.4
がに等しいとします。
ステップ 5.5
をに等しくし、を解きます。
ステップ 5.5.1
がに等しいとします。
ステップ 5.5.2
についてを解きます。
ステップ 5.5.2.1
方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。
ステップ 5.5.2.2
が未定義なので、方程式は解くことができません。
未定義
ステップ 5.5.2.3
の解はありません
解がありません
解がありません
解がありません
ステップ 5.6
をに等しくし、を解きます。
ステップ 5.6.1
がに等しいとします。
ステップ 5.6.2
についてを解きます。
ステップ 5.6.2.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 5.6.2.2
の各項をで割り、簡約します。
ステップ 5.6.2.2.1
の各項をで割ります。
ステップ 5.6.2.2.2
左辺を簡約します。
ステップ 5.6.2.2.2.1
2つの負の値を割ると正の値になります。
ステップ 5.6.2.2.2.2
をで割ります。
ステップ 5.6.2.2.3
右辺を簡約します。
ステップ 5.6.2.2.3.1
をで割ります。
ステップ 5.7
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 6
ステップ 6.1
式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。
ステップ 7
値を求める臨界点です。
ステップ 8
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 9
ステップ 9.1
各項を簡約します。
ステップ 9.1.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 9.1.2
にをかけます。
ステップ 9.1.3
にべき乗するものはとなります。
ステップ 9.1.4
にをかけます。
ステップ 9.1.5
にをかけます。
ステップ 9.1.6
にをかけます。
ステップ 9.1.7
にべき乗するものはとなります。
ステップ 9.1.8
にをかけます。
ステップ 9.1.9
にをかけます。
ステップ 9.1.10
にべき乗するものはとなります。
ステップ 9.1.11
にをかけます。
ステップ 9.2
数を加えて簡約します。
ステップ 9.2.1
とをたし算します。
ステップ 9.2.2
とをたし算します。
ステップ 10
は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極小値です
ステップ 11
ステップ 11.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 11.2
結果を簡約します。
ステップ 11.2.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 11.2.2
にをかけます。
ステップ 11.2.3
にべき乗するものはとなります。
ステップ 11.2.4
にをかけます。
ステップ 11.2.5
最終的な答えはです。
ステップ 12
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 13
ステップ 13.1
各項を簡約します。
ステップ 13.1.1
を乗します。
ステップ 13.1.2
にをかけます。
ステップ 13.1.3
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 13.1.4
とをまとめます。
ステップ 13.1.5
にをかけます。
ステップ 13.1.6
にをかけます。
ステップ 13.1.7
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 13.1.8
とをまとめます。
ステップ 13.1.9
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 13.1.10
にをかけます。
ステップ 13.1.11
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 13.1.12
とをまとめます。
ステップ 13.2
分数をまとめます。
ステップ 13.2.1
公分母の分子をまとめます。
ステップ 13.2.2
式を簡約します。
ステップ 13.2.2.1
からを引きます。
ステップ 13.2.2.2
とをたし算します。
ステップ 13.2.2.3
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 14
は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極大値です
ステップ 15
ステップ 15.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 15.2
結果を簡約します。
ステップ 15.2.1
を乗します。
ステップ 15.2.2
にをかけます。
ステップ 15.2.3
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 15.2.4
とをまとめます。
ステップ 15.2.5
最終的な答えはです。
ステップ 16
の極値です。
は極小値です
は極大値です
ステップ 17