微分積分 例

極大値と極小値を求める f(x)=x^2e^(-x)
ステップ 1
関数の一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
およびのとき、であるという積の法則を使って微分します。
ステップ 1.2
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 1.2.2
=のとき、であるという指数法則を使って微分します。
ステップ 1.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.3
微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.3.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.3.3
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.3.3.1
をかけます。
ステップ 1.3.3.2
の左に移動させます。
ステップ 1.3.3.3
に書き換えます。
ステップ 1.3.4
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.4
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.1
項を並べ替えます。
ステップ 1.4.2
の因数を並べ替えます。
ステップ 2
関数の二次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 2.2
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.2.2
およびのとき、であるという積の法則を使って微分します。
ステップ 2.2.3
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.3.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 2.2.3.2
=のとき、であるという指数法則を使って微分します。
ステップ 2.2.3.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 2.2.4
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.2.5
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.2.6
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.2.7
をかけます。
ステップ 2.2.8
の左に移動させます。
ステップ 2.2.9
に書き換えます。
ステップ 2.3
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.3.2
およびのとき、であるという積の法則を使って微分します。
ステップ 2.3.3
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.3.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 2.3.3.2
=のとき、であるという指数法則を使って微分します。
ステップ 2.3.3.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 2.3.4
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.3.5
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.3.6
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.3.7
をかけます。
ステップ 2.3.8
の左に移動させます。
ステップ 2.3.9
に書き換えます。
ステップ 2.3.10
をかけます。
ステップ 2.4
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.1
分配則を当てはめます。
ステップ 2.4.2
分配則を当てはめます。
ステップ 2.4.3
項をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.3.1
をかけます。
ステップ 2.4.3.2
をかけます。
ステップ 2.4.3.3
をかけます。
ステップ 2.4.3.4
をかけます。
ステップ 2.4.3.5
からを引きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.3.5.1
を移動させます。
ステップ 2.4.3.5.2
からを引きます。
ステップ 2.4.4
項を並べ替えます。
ステップ 2.4.5
の因数を並べ替えます。
ステップ 3
微分係数をと等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。
ステップ 4
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.1
およびのとき、であるという積の法則を使って微分します。
ステップ 4.1.2
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.2.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 4.1.2.2
=のとき、であるという指数法則を使って微分します。
ステップ 4.1.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 4.1.3
微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.3.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 4.1.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.3.3
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.3.3.1
をかけます。
ステップ 4.1.3.3.2
の左に移動させます。
ステップ 4.1.3.3.3
に書き換えます。
ステップ 4.1.3.4
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.4
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.4.1
項を並べ替えます。
ステップ 4.1.4.2
の因数を並べ替えます。
ステップ 4.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 5
一次導関数をと等しくし、次に方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 5.2
で因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.1
で因数分解します。
ステップ 5.2.2
で因数分解します。
ステップ 5.2.3
で因数分解します。
ステップ 5.3
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 5.4
に等しいとします。
ステップ 5.5
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.5.1
に等しいとします。
ステップ 5.5.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.5.2.1
方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。
ステップ 5.5.2.2
が未定義なので、方程式は解くことができません。
未定義
ステップ 5.5.2.3
の解はありません
解がありません
解がありません
解がありません
ステップ 5.6
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.1
に等しいとします。
ステップ 5.6.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.2.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 5.6.2.2
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.2.2.1
の各項をで割ります。
ステップ 5.6.2.2.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.2.2.2.1
2つの負の値を割ると正の値になります。
ステップ 5.6.2.2.2.2
で割ります。
ステップ 5.6.2.2.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.2.2.3.1
で割ります。
ステップ 5.7
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 6
微分係数が未定義になる値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。
ステップ 7
値を求める臨界点です。
ステップ 8
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 9
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 9.1.2
をかけます。
ステップ 9.1.3
にべき乗するものはとなります。
ステップ 9.1.4
をかけます。
ステップ 9.1.5
をかけます。
ステップ 9.1.6
をかけます。
ステップ 9.1.7
にべき乗するものはとなります。
ステップ 9.1.8
をかけます。
ステップ 9.1.9
をかけます。
ステップ 9.1.10
にべき乗するものはとなります。
ステップ 9.1.11
をかけます。
ステップ 9.2
数を加えて簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.2.1
をたし算します。
ステップ 9.2.2
をたし算します。
ステップ 10
は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極小値です
ステップ 11
のときy値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.1
式の変数で置換えます。
ステップ 11.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 11.2.2
をかけます。
ステップ 11.2.3
にべき乗するものはとなります。
ステップ 11.2.4
をかけます。
ステップ 11.2.5
最終的な答えはです。
ステップ 12
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 13
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.1.1
乗します。
ステップ 13.1.2
をかけます。
ステップ 13.1.3
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 13.1.4
をまとめます。
ステップ 13.1.5
をかけます。
ステップ 13.1.6
をかけます。
ステップ 13.1.7
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 13.1.8
をまとめます。
ステップ 13.1.9
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 13.1.10
をかけます。
ステップ 13.1.11
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 13.1.12
をまとめます。
ステップ 13.2
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.2.1
公分母の分子をまとめます。
ステップ 13.2.2
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.2.2.1
からを引きます。
ステップ 13.2.2.2
をたし算します。
ステップ 13.2.2.3
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 14
は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極大値です
ステップ 15
のときy値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.1
式の変数で置換えます。
ステップ 15.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1
乗します。
ステップ 15.2.2
をかけます。
ステップ 15.2.3
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 15.2.4
をまとめます。
ステップ 15.2.5
最終的な答えはです。
ステップ 16
の極値です。
は極小値です
は極大値です
ステップ 17