微分積分例

${(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{5}$

ステップ 1

$f (x) = {(2 x - 3)}^{4}$ および $g (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(2 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{5}] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x^{2} + x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} + x + 1$ とします。

${(2 x - 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

ステップ 2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(2 x - 3)}^{4} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + x + 1$ で置き換えます。

${(2 x - 3)}^{4} (5 {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$5$ を ${(2 x - 3)}^{4}$ の左に移動させます。

$5 \cdot {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} + x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + 0) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

ステップ 3.6

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

ステップ 4

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 2 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x - 3$ とします。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

ステップ 4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x - 3$ で置き換えます。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {(2 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$4$ を ${(x^{2} + x + 1)}^{5}$ の左に移動させます。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

ステップ 5.2

総和則では、 $2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 5.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 5.5

$2$ に $1$ をかけます。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 5.6

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (2 + 0)$

ステップ 5.7

式を簡約します。

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ステップ 5.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} \cdot 2$

ステップ 5.7.2

$2$ に $4$ をかけます。

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ を $5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ を $5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1)$ で因数分解します。

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1)) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3}$

ステップ 6.1.2

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ を $8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3}$ で因数分解します。

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1)) + {(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$

ステップ 6.1.3

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ を ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1)) + {(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$ で因数分解します。

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$

ステップ 6.2

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$ の因数を並べ替えます。

${(x^{2} + x + 1)}^{4} {(2 x - 3)}^{3} (5 (2 x - 3) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$

微分積分 例

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