微分積分例

$\ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 1}$ を ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\ln (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} - 1$ とします。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 10

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 13

分数をまとめます。

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ステップ 13.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 13.2

$2$ と $\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 13.3

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 14

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 15

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 17

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 17.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 17.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 17.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

ステップ 19

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 20

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 21

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22

指数を足して ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 22.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23

${(x^{2} - 1)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 25

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 26

指数を足して ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 26.1

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 26.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 26.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

ステップ 26.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 26.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{1}}$

ステップ 27

$x {(x^{2} - 1)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

ステップ 28

簡約します。

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ステップ 28.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

ステップ 28.2

項をまとめます。

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ステップ 28.2.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 28.2.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 28.2.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 1}$

ステップ 28.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{1 + 2} + x \cdot - 1}$

ステップ 28.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} + x \cdot - 1}$

ステップ 28.2.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} - 1 \cdot x}$

ステップ 28.2.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} - x}$

微分積分 例

微分積分例