微分積分例

$\int t e^{- 2 t} d t$

ステップ 1

$u = t$ と $d v = e^{- 2 t}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$t (- \frac{1}{2} e^{- 2 t}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 t} d t$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$e^{- 2 t}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$t (- \frac{e^{- 2 t}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 t} d t$

ステップ 2.2

$t$ と $\frac{e^{- 2 t}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 t} d t$

ステップ 3

$- \frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 t} d t)$

ステップ 4

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 t} d t)$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 t} d t$

ステップ 5

$u = - 2 t$ とします。次に $d u = - 2 d t$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$- 2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [- 2 t]$

ステップ 5.1.2

$- 2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 2 t$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 6

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 6.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

ステップ 9

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

ステップ 9.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

ステップ 10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

ステップ 11

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ステップ 11.1

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ を $- \frac{1}{2} t e^{- 2 t} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} t e^{- 2 t} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

ステップ 11.2

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ステップ 11.2.1

$t$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{t}{2} e^{- 2 t} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

ステップ 11.2.2

$e^{- 2 t}$ と $\frac{t}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- 2 t} t}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $- 2 t$ で置き換えます。

$- \frac{e^{- 2 t} t}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 t} + C$

ステップ 13

$e^{- 2 t}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- 2 t} t}{2} - \frac{e^{- 2 t}}{4} + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} e^{- 2 t} t - \frac{1}{4} e^{- 2 t} + C$

微分積分 例

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