微分積分例

$y = \sqrt{x + 2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 2}$ を ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 1.8

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))$

ステップ 1.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2))$

ステップ 1.10

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

ステップ 1.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.11.2

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

ステップ 2.1.2.2

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

ステップ 2.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 2.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 2.2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 2.6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 2.7.2

${(x + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x + 2)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 2.7.4

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 2.7.5

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 2.8

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2))$

ステップ 2.10

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + 0)$

ステップ 2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

ステップ 2.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- \frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ の微分係数は $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}]$ です。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ を ${({(x + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {({(x + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

${({(x + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.1.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 2)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

ステップ 3.1.2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 2)}^{\frac{- 3}{2}}$

ステップ 3.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 2)}^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.2.2

$n = - \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.6.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.7.2

${(x + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{{(x + 2)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.7.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1

$3$ を ${(x + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ の左に移動させます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 \cdot {(x + 2)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ を分母に移動させます。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.7.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot (\frac{3}{2 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.7.3.4

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{3}{2 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 3.7.4

$\frac{3}{2 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{3}{2 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 3.7.5

$4$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 3.8

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2))$

ステップ 3.10

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (1 + 0)$

ステップ 3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

ステップ 3.11.2

$\frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{3}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ の微分係数は $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{5}{2}}}]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{5}{2}}})$

ステップ 4.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ を ${({(x + 2)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 2)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1})$

ステップ 4.1.2.2

${({(x + 2)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1})$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{5}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.2.1

$\frac{5}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}})$

ステップ 4.1.2.2.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{- 5}{2}})$

ステップ 4.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{- \frac{5}{2}})$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 4.2.2

$n = - \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 4.6.2

$- 5$ から $2$ を引きます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 4.7.2

${(x + 2)}^{- \frac{7}{2}}$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{{(x + 2)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 4.7.3

式を簡約します。

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ステップ 4.7.3.1

$5$ を ${(x + 2)}^{- \frac{7}{2}}$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 \cdot {(x + 2)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 4.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 2)}^{- \frac{7}{2}}$ を分母に移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

ステップ 4.7.4

$\frac{3}{8}$ に $\frac{5}{2 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}}$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{3 \cdot 5}{8 (2 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 4.7.5

掛け算します。

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ステップ 4.7.5.1

$3$ に $5$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{8 (2 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 4.7.5.2

$2$ に $8$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

ステップ 4.8

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))$

ステップ 4.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2))$

ステップ 4.10

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (1 + 0)$

ステップ 4.11

式を簡約します。

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ステップ 4.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 1$

ステップ 4.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例