微分積分例

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 5}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{x^{2} + 5}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{x^{2} + 5}$ を ${(x^{2} + 5)}^{- 1}$ に書き換えます。

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{- 1}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 5$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5$ で置き換えます。

$5 (- {(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 ({(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 1.3.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 1.3.5.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$- 10 {(x^{2} + 5)}^{- 2} x$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 10 \frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- 10$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

ステップ 1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

ステップ 1.4.2.3

$x$ と $\frac{10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.4.2.4

$10$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}]$ です。

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.3.3

${(x^{2} + 5)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 5$ とします。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5$ で置き換えます。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.5.2

$x^{2} + 5$ を ${(x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$x^{2} + 5$ を ${(x^{2} + 5)}^{2}$ で因数分解します。

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.5.2.2

$x^{2} + 5$ を $- 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ で因数分解します。

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.5.2.3

$x^{2} + 5$ を $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ で因数分解します。

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$x^{2} + 5$ を ${(x^{2} + 5)}^{4}$ で因数分解します。

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.6.2

共通因数を約分します。

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.6.3

式を書き換えます。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.9

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.12

$x$ を $1$ 乗します。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$- 10 \frac{- 3 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.16

$- 10$ と $\frac{- 3 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.17

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 \cdot 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1

$- 3$ に $10$ をかけます。

$- \frac{- 30 x^{2} + 10 \cdot 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.2

$10$ に $5$ をかけます。

$- \frac{- 30 x^{2} + 50}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18.3

$10$ を $- 30 x^{2} + 50$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.1

$10$ を $- 30 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 50}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18.3.2

$10$ を $50$ で因数分解します。

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18.3.3

$10$ を $10 (- 3 x^{2}) + 10 (5)$ で因数分解します。

$- \frac{10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18.4

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{10 (- (3 x^{2}) + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18.5

$5$ を $- 1 (- 5)$ に書き換えます。

$- \frac{10 (- (3 x^{2}) - 1 (- 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18.6

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (- 5)$ で因数分解します。

$- \frac{10 (- (3 x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18.7

$- (3 x^{2} - 5)$ を $- 1 (3 x^{2} - 5)$ に書き換えます。

$- \frac{10 (- 1 (3 x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18.8

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2.18.10

$\frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}]$

ステップ 3.2

$f (x) = 3 x^{2} - 5$ および $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{({(x^{2} + 5)}^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

${({(x^{2} + 5)}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{3 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $3 x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.3.5

$2$ に $3$ をかけます。

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.3.6

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (6 x + 0) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (6 x) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.3.7.2

$6$ を ${(x^{2} + 5)}^{3}$ の左に移動させます。

$10 \frac{6 \cdot {(x^{2} + 5)}^{3} x - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 5$ とします。

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - (3 x^{2} - 5) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - (3 x^{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5$ で置き換えます。

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - (3 x^{2} - 5) (3 {(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.5.2

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.5.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [5]))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.5.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.5.5

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.5.5.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.2.1

$2$ を ${(x^{2} + 5)}^{2}$ の左に移動させます。

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) (2 \cdot {(x^{2} + 5)}^{2} x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.5.5.2.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.5.5.3

$10$ と $\frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$ をまとめます。

$\frac{10 (6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{10 (6 {(x^{2} + 5)}^{3} x + (- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{10 (6 {(x^{2} + 5)}^{3} x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1

二項定理を利用します。

$\frac{10 (6 ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.1

${(x^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{10 (6 (x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{10 (6 (x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{10 (6 (x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{10 (6 (x^{6} + 3 x^{4} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{10 (6 (x^{6} + 15 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.4

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{10 (6 (x^{6} + 15 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 25 + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.5

$25$ に $3$ をかけます。

$\frac{10 (6 (x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.6

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{10 (6 (x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{10 ((6 x^{6} + 6 (15 x^{4}) + 6 (75 x^{2}) + 6 \cdot 125) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.4.1

$15$ に $6$ をかけます。

$\frac{10 ((6 x^{6} + 90 x^{4} + 6 (75 x^{2}) + 6 \cdot 125) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.4.2

$75$ に $6$ をかけます。

$\frac{10 ((6 x^{6} + 90 x^{4} + 450 x^{2} + 6 \cdot 125) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.4.3

$6$ に $125$ をかけます。

$\frac{10 ((6 x^{6} + 90 x^{4} + 450 x^{2} + 750) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.5

分配則を当てはめます。

$\frac{10 (6 x^{6} x + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.1

指数を足して $x^{6}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{10 (6 (x \cdot x^{6}) + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.1.2

$x$ に $x^{6}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{10 (6 (x^{1} x^{6}) + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{10 (6 x^{1 + 6} + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.1.3

$1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.2

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 (x \cdot x^{4}) + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.2.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 (x^{1} x^{4}) + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{1 + 4} + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.2.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 (x \cdot x^{2}) + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 (x^{1} x^{2}) + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 x^{1 + 2} + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 x^{3} + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.7

分配則を当てはめます。

$\frac{10 (6 x^{7}) + 10 (90 x^{5}) + 10 (450 x^{3}) + 10 (750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.8.1

$6$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 10 (90 x^{5}) + 10 (450 x^{3}) + 10 (750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.8.2

$90$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 10 (450 x^{3}) + 10 (750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.8.3

$450$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 10 (750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.8.4

$750$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.9.1

$3$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.9.2

$- 6$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.10

${(x^{2} + 5)}^{2}$ を $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5)$ に書き換えます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2} + 5) (x^{2} + 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.11

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2} (x^{2} + 5) + 5 (x^{2} + 5)) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + 5 (x^{2} + 5)) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.11.3

分配則を当てはめます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.12.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.12.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.12.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{4} + x^{2} \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.12.1.2

$5$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{4} + 5 \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.12.1.3

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{4} + 5 x^{2} + 5 x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.12.2

$5 x^{2}$ と $5 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{4} + 10 x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.13

分配則を当てはめます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{4} x + 10 x^{2} x + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.14.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.14.1.1

$x^{4}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.14.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{4} x^{1} + 10 x^{2} x + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{4 + 1} + 10 x^{2} x + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.1.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 x^{2} x + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.14.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 (x \cdot x^{2}) + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.14.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 (x^{1} x^{2}) + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 x^{1 + 2} + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 x^{3} + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.15

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 x^{3} + 25 x)$ を展開します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{2} x^{5} - 18 x^{2} (10 x^{3}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.16.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.16.1.1

$x^{5}$ を移動させます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 (x^{5} x^{2}) - 18 x^{2} (10 x^{3}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{5 + 2} - 18 x^{2} (10 x^{3}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.1.3

$5$ と $2$ をたし算します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 x^{2} (10 x^{3}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 10 x^{2} x^{3} - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.16.3.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 10 (x^{3} x^{2}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 10 x^{3 + 2} - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.3.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 10 x^{5} - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.4

$- 18$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 x^{2} x + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.6

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.16.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 (x \cdot x^{2}) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.6.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.16.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 (x^{1} x^{2}) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 x^{1 + 2} + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 x^{3} + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.7

$- 18$ に $25$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 450 x^{3} + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.8

$10$ に $30$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 450 x^{3} + 30 x^{5} + 300 x^{3} + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.9

$25$ に $30$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 450 x^{3} + 30 x^{5} + 300 x^{3} + 750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.17

$- 180 x^{5}$ と $30 x^{5}$ をたし算します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 150 x^{5} - 450 x^{3} + 300 x^{3} + 750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.18

$- 450 x^{3}$ と $300 x^{3}$ をたし算します。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 150 x^{5} - 150 x^{3} + 750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.19

分配則を当てはめます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7}) + 10 (- 150 x^{5}) + 10 (- 150 x^{3}) + 10 (750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.20

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.20.1

$- 18$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 180 x^{7} + 10 (- 150 x^{5}) + 10 (- 150 x^{3}) + 10 (750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.20.2

$- 150$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 180 x^{7} - 1500 x^{5} + 10 (- 150 x^{3}) + 10 (750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.20.3

$- 150$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 180 x^{7} - 1500 x^{5} - 1500 x^{3} + 10 (750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.20.4

$750$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 180 x^{7} - 1500 x^{5} - 1500 x^{3} + 7500 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.21

$60 x^{7}$ から $180 x^{7}$ を引きます。

$\frac{- 120 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 1500 x^{5} - 1500 x^{3} + 7500 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.22

$900 x^{5}$ から $1500 x^{5}$ を引きます。

$\frac{- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 1500 x^{3} + 7500 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.23

$4500 x^{3}$ から $1500 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 7500 x + 7500 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.24

$7500 x$ と $7500 x$ をたし算します。

$\frac{- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 15000 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25

因数分解した形で $- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 15000 x$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.25.1

$120 x$ を $- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 15000 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.25.1.1

$120 x$ を $- 120 x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{120 x (- x^{6}) - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 15000 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.1.2

$120 x$ を $- 600 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{120 x (- x^{6}) + 120 x (- 5 x^{4}) + 3000 x^{3} + 15000 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.1.3

$120 x$ を $3000 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{120 x (- x^{6}) + 120 x (- 5 x^{4}) + 120 x (25 x^{2}) + 15000 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.1.4

$120 x$ を $15000 x$ で因数分解します。

$\frac{120 x (- x^{6}) + 120 x (- 5 x^{4}) + 120 x (25 x^{2}) + 120 x (125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.1.5

$120 x$ を $120 x (- x^{6}) + 120 x (- 5 x^{4})$ で因数分解します。

$\frac{120 x (- x^{6} - 5 x^{4}) + 120 x (25 x^{2}) + 120 x (125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.1.6

$120 x$ を $120 x (- x^{6} - 5 x^{4}) + 120 x (25 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{120 x (- x^{6} - 5 x^{4} + 25 x^{2}) + 120 x (125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.1.7

$120 x$ を $120 x (- x^{6} - 5 x^{4} + 25 x^{2}) + 120 x (125)$ で因数分解します。

$\frac{120 x (- x^{6} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.25.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{120 x ((- x^{6} - 5 x^{4}) + 25 x^{2} + 125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{120 x (x^{4} (- x^{2} - 5) - 25 (- x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.3

最大公約数 $- x^{2} - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{120 x ((- x^{2} - 5) (x^{4} - 25))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.4

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{120 x ((- x^{2} - 5) ({(x^{2})}^{2} - 25))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.5

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{120 x ((- x^{2} - 5) ({(x^{2})}^{2} - 5^{2}))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 5$ です。

$\frac{120 x ((- x^{2} - 5) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.7

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.25.7.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{120 x ((- (x^{2}) - 5) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.7.2

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{120 x ((- (x^{2}) - 1 (5)) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.7.3

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{120 x (- (x^{2} + 5) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.7.4

$- (x^{2} + 5)$ を $- 1 (x^{2} + 5)$ に書き換えます。

$\frac{120 x (- 1 (x^{2} + 5) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.7.5

$x^{2} + 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{120 x (- 1 ({(x^{2} + 5)}^{1} (x^{2} + 5)) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.7.6

$x^{2} + 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{120 x (- 1 ({(x^{2} + 5)}^{1} {(x^{2} + 5)}^{1}) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.7.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{120 x (- 1 {(x^{2} + 5)}^{1 + 1} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.7.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{120 x (- 1 {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

$\frac{120 x \cdot - 1 {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.8

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.25.8.1

負をくくり出します。

$\frac{- (120 x {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.8.2

$120$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 120 (x {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

$\frac{- 120 x {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

${(x^{2} + 5)}^{2}$ と ${(x^{2} + 5)}^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1.1

${(x^{2} + 5)}^{2}$ を $- 120 x {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5)$ で因数分解します。

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (- 120 x (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

ステップ 3.6.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1.2.1

${(x^{2} + 5)}^{2}$ を ${(x^{2} + 5)}^{6}$ で因数分解します。

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (- 120 x (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 3.6.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (- 120 x (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 3.6.4.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 120 x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 3.6.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{120 x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 120$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{120 x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$ の微分係数は $- 120 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}]$ です。

$- 120 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x (x^{2} - 5)$ および $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5)] - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{({(x^{2} + 5)}^{4})}^{2}}$

ステップ 4.3

${({(x^{2} + 5)}^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5)] - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{4 \cdot 2}}$

ステップ 4.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5)] - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.4

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

総和則では、 $x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.5.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.5.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.7

$x$ を $1$ 乗します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.9

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 5) \cdot 1) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.9.3

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.3.1

$x^{2} - 5$ に $1$ をかけます。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 x^{2} + x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.9.3.2

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.10

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 5$ とします。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.10.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.10.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5$ で置き換えます。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) (4 {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.11

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.11.2

${(x^{2} + 5)}^{3}$ を ${(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.2.1

${(x^{2} + 5)}^{3}$ を ${(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5)$ で因数分解します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)) - 4 x (x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.11.2.2

${(x^{2} + 5)}^{3}$ を $- 4 x (x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ で因数分解します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)) + {(x^{2} + 5)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.11.2.3

${(x^{2} + 5)}^{3}$ を ${(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)) + {(x^{2} + 5)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ で因数分解します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

ステップ 4.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.1

${(x^{2} + 5)}^{3}$ を ${(x^{2} + 5)}^{8}$ で因数分解します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{3} {(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.12.2

共通因数を約分します。

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{3} {(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.12.3

式を書き換えます。

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.13

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.14

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.15

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.16

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.16.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.16.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.17

$x$ を $1$ 乗します。

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 (x^{1} x) (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.18

$x$ を $1$ 乗します。

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 (x^{1} x^{1}) (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{1 + 1} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.20

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.21

$- 120$ と $\frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 120 ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.22

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{120 ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.23.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{120 ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{120 ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.23.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.23.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.23.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{120 (x^{2} (3 x^{2} - 5) + 5 (3 x^{2} - 5)) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{120 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2} - 5)) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{120 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.23.3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.23.3.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{120 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.2.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.23.3.1.2.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- \frac{120 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{120 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.2.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{120 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.2.1.3

$- 5$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{120 (3 x^{4} - 5 \cdot x^{2} + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.2.1.4

$3$ に $5$ をかけます。

$- \frac{120 (3 x^{4} - 5 x^{2} + 15 x^{2} + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.2.1.5

$5$ に $- 5$ をかけます。

$- \frac{120 (3 x^{4} - 5 x^{2} + 15 x^{2} - 25) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.2.2

$- 5 x^{2}$ と $15 x^{2}$ をたし算します。

$- \frac{120 (3 x^{4} + 10 x^{2} - 25) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{120 (3 x^{4}) + 120 (10 x^{2}) + 120 \cdot - 25 + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.23.3.1.4.1

$3$ に $120$ をかけます。

$- \frac{360 x^{4} + 120 (10 x^{2}) + 120 \cdot - 25 + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.4.2

$10$ に $120$ をかけます。

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} + 120 \cdot - 25 + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.4.3

$120$ に $- 25$ をかけます。

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.23.3.1.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 120 (- 8 (x^{2} x^{2})) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 120 (- 8 x^{2 + 2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.5.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 120 (- 8 x^{4}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.6

$- 8$ に $120$ をかけます。

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 - 960 x^{4} + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.7

$- 5$ に $- 8$ をかけます。

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 - 960 x^{4} + 120 (40 x^{2})}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.1.8

$40$ に $120$ をかけます。

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 - 960 x^{4} + 4800 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.2

$360 x^{4}$ から $960 x^{4}$ を引きます。

$- \frac{- 600 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 4800 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.3.3

$1200 x^{2}$ と $4800 x^{2}$ をたし算します。

$- \frac{- 600 x^{4} + 6000 x^{2} - 3000}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.4

$600$ を $- 600 x^{4} + 6000 x^{2} - 3000$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.23.4.1

$600$ を $- 600 x^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{600 (- x^{4}) + 6000 x^{2} - 3000}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.4.2

$600$ を $6000 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{600 (- x^{4}) + 600 (10 x^{2}) - 3000}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.4.3

$600$ を $- 3000$ で因数分解します。

$- \frac{600 (- x^{4}) + 600 (10 x^{2}) + 600 (- 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.4.4

$600$ を $600 (- x^{4}) + 600 (10 x^{2})$ で因数分解します。

$- \frac{600 (- x^{4} + 10 x^{2}) + 600 (- 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.4.5

$600$ を $600 (- x^{4} + 10 x^{2}) + 600 (- 5)$ で因数分解します。

$- \frac{600 (- x^{4} + 10 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.5

$- 1$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{600 (- (x^{4}) + 10 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.6

$- 1$ を $10 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{600 (- (x^{4}) - (- 10 x^{2}) - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.7

$- 1$ を $- (x^{4}) - (- 10 x^{2})$ で因数分解します。

$- \frac{600 (- (x^{4} - 10 x^{2}) - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.8

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$- \frac{600 (- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.9

$- 1$ を $- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (5)$ で因数分解します。

$- \frac{600 (- (x^{4} - 10 x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.10

$- (x^{4} - 10 x^{2} + 5)$ を $- 1 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)$ に書き換えます。

$- \frac{600 (- 1 (x^{4} - 10 x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.11

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.12

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 4.23.13

$\frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $\frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$ です。

$\frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

微分積分 例

微分積分例