微分積分例

$x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}] + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 5$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.4

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.2

$2$ と $\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} x + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.3

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x \cdot x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 15

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

ステップ 17

${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 18

${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19

${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 20

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21

指数を足して ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 21.1

${(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{1} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 22

${(x^{2} + 5)}^{1} \cdot 3$ を簡約します。

$\frac{2 x^{2} + (x^{2} + 5) \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 23

$3$ を $x^{2} + 5$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} + 3 \cdot (x^{2} + 5)}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 24

簡約します。

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ステップ 24.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 5}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 24.2

分子を簡約します。

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ステップ 24.2.1

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 3 x^{2} + 15}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 24.2.2

$2 x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{5 x^{2} + 15}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 24.3

$5$ を $5 x^{2} + 15$ で因数分解します。

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ステップ 24.3.1

$5$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{2}) + 15}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 24.3.2

$5$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 24.3.3

$5$ を $5 x^{2} + 5 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{2} + 3)}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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