微分積分例

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 1$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.4.2

$2$ を $x^{2} + 1$ の左に移動させます。

$2 \cdot (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.5

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + 0)$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x)$

ステップ 2.8.2

$2$ を $x^{2} - 1$ の左に移動させます。

$2 (x^{2} + 1) x + 2 \cdot (x^{2} - 1) x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x + 2 (x^{2} - 1) x$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 (x^{2} - 1) x$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + (2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 3.5

項をまとめます。

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ステップ 3.5.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 3.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 3.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 3.5.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 3.5.5

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 3.5.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 3.5.7

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 3.5.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} - 2 x$

ステップ 3.5.9

$2 x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$4 x^{3} + 2 x - 2 x$

ステップ 3.5.10

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$4 x^{3} + 0$

ステップ 3.5.11

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3}$

微分積分 例

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