微分積分例

$\frac{x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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