微分積分例

$\frac{x^{3} + x + 1}{x}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3} + x + 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + x + 1] - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} + x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (3 x^{2} + 1 + 0) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.5

$3 x^{2} + 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1)}{x^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - (x^{3} + x + 1)}{x^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.3.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2

$3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 0 - 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$3 x^{3} - x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.3

$3 x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 1}{x^{2}}$

微分積分 例

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