微分積分例

$\frac{\sqrt{x}}{x^{3} + 1}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{3} + 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{3} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 9

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 10

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 11

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 12.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 13

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{2} x^{\frac{1}{2}})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 13.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2 + \frac{1}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 13.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 13.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 13.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 13.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{4 + 1}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 13.6.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.1.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.1.1.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.1.2

$x^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.1.3

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.2

$- 3 x^{\frac{5}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.3

$- 3 x^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.5.1.1

$x^{\frac{5}{2}}$ を $x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.5.1.1.1

$x^{\frac{5}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.5.1.1.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - 3 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.5.1.1.3

$x^{\frac{5}{2}}$ を $- 3 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{5}{2}} (- 3 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.5.1.1.4

$x^{\frac{5}{2}}$ を $x^{\frac{5}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{5}{2}} (- 3 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} (1 - 3 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.5.1.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} (1 - 6)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.5.1.3

$1$ から $6$ を引きます。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} \cdot - 5}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.5.2

$- 5$ を $x^{\frac{5}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{- 5 \cdot x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$\frac{- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$ に $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.2

まとめる。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.4

$2 x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.6

$- 2$ と $\frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{- 2 (5 x^{\frac{5}{2}})}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.7

$5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.8

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{- 10 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 10 x^{\frac{5}{2}})}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.9

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{5}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.9.1

$x^{\frac{5}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot - 10}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 10}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.9.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{5 + 1}{2}} \cdot - 10}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.9.4

$5$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{x^{\frac{6}{2}} \cdot - 10}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.9.5

$6$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{x^{3} \cdot - 10}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.10

$- 10$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{- 10 \cdot x^{3}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.11

$- 10$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.11.1

$2$ を $- 10 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3})}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.11.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3})}{2 (1)} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3})}{2 \cdot 1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- 5 x^{3}}{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.3.11.2.4

$- 5 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 14.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1^{3})}^{2}}$

ステップ 14.4.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2}}$

ステップ 14.4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}^{2}}$

ステップ 14.4.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x + 1) (x^{2} - x + 1))}^{2}}$

ステップ 14.4.4

積の法則を $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ に当てはめます。

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 14.5

$- 1$ を $- 5 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x^{3}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 14.6

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (5 x^{3}) - 1 (- 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 14.7

$- 1$ を $- (5 x^{3}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x^{3} - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 14.8

$- (5 x^{3} - 1)$ を $- 1 (5 x^{3} - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (5 x^{3} - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 14.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 x^{3} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例