微分積分例

$\tan^{2} (x^{4} + 1)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x^{4} + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (x^{4} + 1)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (x^{4} + 1)$ で置き換えます。

$2 \tan (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

ステップ 2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x^{4} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{4} + 1$ とします。

$2 \tan (x^{4} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$2 \tan (x^{4} + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{4} + 1$ で置き換えます。

$2 \tan (x^{4} + 1) (\sec^{2} (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{4} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0)$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3})$

ステップ 3.4.2

$4$ に $2$ をかけます。

$8 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) x^{3}$

ステップ 3.4.3

$8 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$8 x^{3} \sec^{2} (x^{4} + 1) \tan (x^{4} + 1)$

微分積分 例

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