微分積分例

$x^{\sin (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{\sin (x)}$ を $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

ステップ 1.2

$\sin (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\sin (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x) \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x) \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 5

$\sin (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 6

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

ステップ 7.2

$e^{\sin (x) \ln (x)}$ と $\frac{\sin (x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

ステップ 7.3

項を並べ替えます。

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

微分積分 例

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