微分積分例

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{x}]$

ステップ 1.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{x}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} x}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{x}{2}}]$

ステップ 2

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{\frac{x}{2}}$ を $e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}]$

ステップ 2.2

$\frac{x}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\frac{x}{2}})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2} \ln (x)}]$

ステップ 3

$\frac{x}{2}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x \ln (x)}{2}}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{x \ln (x)}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x \ln (x)}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x \ln (x)}{2}$ で置き換えます。

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

ステップ 5

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x \ln (x)}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ と $e^{\frac{x \ln (x)}{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 6

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 8.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.2.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 8.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

ステップ 9.2.2

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \ln (x)}{2}$

微分積分 例

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