微分積分例

$\frac{\sqrt{x} - 9}{\sqrt{x} + 9}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 9}{\sqrt{x} + 9}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 9}{x^{\frac{1}{2}} + 9}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 9$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 9] - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 9

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 10

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 11

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 12

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 13

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 14

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 16

分子を簡約します。

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ステップ 16.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 16.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 17

分数をまとめます。

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ステップ 17.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 17.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 17.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 18

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 19

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.4

分子を簡約します。

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ステップ 20.4.1

$x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 20.4.1.1

$x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ から $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$\frac{9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.4.1.2

$9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 20.4.2.1

$9$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.4.2.2

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.4.2.3

$9$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{9 + 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.4.4

$9$ と $9$ をたし算します。

$\frac{\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.4.5

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.4.6

共通因数を約分します。

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ステップ 20.4.6.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 \cdot 9}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.4.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.4.6.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.5

項をまとめます。

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ステップ 20.5.1

$\frac{\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

ステップ 20.5.2

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例