微分積分例

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = e^{3 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

ステップ 2.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{3 x}}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{3} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (x) d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} \int e^{3 x} (x) d x$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = e^{3 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{e^{3 x}}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

ステップ 6.3

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

ステップ 8

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 8.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

ステップ 9

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

ステップ 10

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

ステップ 11.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

ステップ 12

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ を $\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{3} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

ステップ 13.2.2

$\frac{x^{2}}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

ステップ 13.2.3

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

ステップ 13.2.4

$\frac{x}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

ステップ 13.2.5

$e^{u}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

ステップ 13.2.6

$- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

ステップ 13.2.7

$- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 13.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 13.2.9

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 3 (\frac{2}{3}) (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.10

$- 3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.11

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 6}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.12

$- 6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.12.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.12.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.12.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9})}{3} + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x})) + C$

微分積分 例

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