微分積分例

$lim_{x \to - 2} \frac{x + 2}{x^{3} + 8}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

ステップ 1.1.2.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 8}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + 8}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\frac{0}{- 8 + 8}$

ステップ 1.1.3.3.2

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 2} \frac{x + 2}{x^{3} + 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

ステップ 1.3.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

ステップ 1.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x^{3} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]}$

ステップ 1.3.7

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]}$

ステップ 1.3.8

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 x^{2} + 0}$

ステップ 1.3.9

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 x^{2}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 2} \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2}}$

ステップ 2.3

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 2} x^{2}}$

ステップ 2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

ステップ 3

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

まとめる。

$\frac{1 \cdot 1}{3 {(- 2)}^{2}}$

ステップ 4.2

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 {(- 2)}^{2}}$

ステップ 4.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{3 \cdot 4}$

ステップ 4.4

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{12}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{12}$

10進法形式：

$0.08\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例