微分積分例

$\frac{x}{x^{2} + 2}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.2

$x^{2} + 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{x^{2} + 2 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + 2 - x (2 x + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} + 2 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 2 - x (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 2 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 2 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} + 2 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 2 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 8.2

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 8.3

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 8.4

$- (x^{2} - 2)$ を $- 1 (x^{2} - 2)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 8.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

微分積分 例

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