微分積分例

$\int_{0}^{45} \frac{1}{\sqrt{t + 4}} d t$

ステップ 1

$u = t + 4$ とします。次に $d u = d t$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = t + 4$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$t + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t + 4]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $t + 4$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ です。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d t} [4]$

ステップ 1.1.4

$4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u = t + 4$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 4$

ステップ 1.3

$0$ と $4$ をたし算します。

$u_{lower} = 4$

ステップ 1.4

$u = t + 4$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 45 + 4$

ステップ 1.5

$45$ と $4$ をたし算します。

$u_{upper} = 49$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 49$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{4}^{49} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{4}^{49} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{4}^{49} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{4}^{49} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{4}^{49} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{4}^{49} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{49}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$49$ および $4$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$(2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.3.2

式を書き換えます。

$2 \cdot 7^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.4

指数を求めます。

$2 \cdot 7 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.5

$2$ に $7$ をかけます。

$14 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.6

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$14 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 4.2.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.8.1

共通因数を約分します。

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 4.2.8.2

式を書き換えます。

$14 - 2 \cdot 2^{1}$

ステップ 4.2.9

指数を求めます。

$14 - 2 \cdot 2$

ステップ 4.2.10

$- 2$ に $2$ をかけます。

$14 - 4$

ステップ 4.2.11

$14$ から $4$ を引きます。

$10$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例