微分積分例

$\int \arctan (4 t) d t$

ステップ 1

$u = \arctan (4 t)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\arctan (4 t) t - \int t \frac{4}{16 t^{2} + 1} d t$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$t$ と $\frac{4}{16 t^{2} + 1}$ をまとめます。

$\arctan (4 t) t - \int \frac{t \cdot 4}{16 t^{2} + 1} d t$

ステップ 2.2

$4$ を $t$ の左に移動させます。

$\arctan (4 t) t - \int \frac{4 t}{16 t^{2} + 1} d t$

ステップ 3

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (4 t) t - (4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t)$

ステップ 4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t$

ステップ 5

$u = 16 t^{2} + 1$ とします。次に $d u = 32 t d t$ すると、 $\frac{1}{32} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 16 t^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$16 t^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [16 t^{2} + 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $16 t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d t} [16 t^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$16$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $16 t^{2}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$16 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $16$ をかけます。

$32 t + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$32 t + 0$

ステップ 5.1.4.2

$32 t$ と $0$ をたし算します。

$32 t$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{32}$ をかけます。

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u$

ステップ 6.2

$32$ を $u$ の左に移動させます。

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{32 u} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{32}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{32}$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (4 t) t - 4 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{32}$ と $- 4$ をまとめます。

$\arctan (4 t) t + \frac{- 4}{32} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2

$- 4$ と $32$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\arctan (4 t) t + \frac{4 (- 1)}{32} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$4$ を $32$ で因数分解します。

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$\arctan (4 t) t + \frac{- 1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.3

分数の前に負数を移動させます。

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 10

簡約します。

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| u |) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $16 t^{2} + 1$ で置き換えます。

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| 16 t^{2} + 1 |) + C$

微分積分 例

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