微分積分例

$\int_{25}^{3} 6 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

ステップ 1

$6$ と $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ をまとめます。

$\int_{25}^{3} \frac{6 \ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

ステップ 2

$6$ は $y$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int_{25}^{3} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

ステップ 3

$\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ を積として書き換えます。

$6 \int_{25}^{3} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

ステップ 4

$u = \ln (y)$ と $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y)$

ステップ 5.2

$y^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{y}$ をまとめます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y)$

ステップ 5.3

$2$ を $y^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y)$

ステップ 5.4

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

ステップ 5.5

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 5.5.1

$y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 5.5.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

ステップ 5.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y)$

ステップ 5.5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y)$

ステップ 5.5.3

公分母の分子をまとめます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y)$

ステップ 5.5.4

$2$ から $1$ を引きます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

ステップ 6

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - (2 \int_{25}^{3} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y))$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

ステップ 7.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y)$

ステップ 7.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y)$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{\frac{- 1}{2}} d y)$

ステップ 7.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{- \frac{1}{2}} d y)$

ステップ 8

べき乗則では、 $y^{- \frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $2 y^{\frac{1}{2}}$ です。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{3}))$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$3$ および $25$ で $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ の値を求めます。

$6 ((\ln (3) (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{3}))$

ステップ 9.2

$3$ および $25$ で $2 y^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$6 ((\ln (3) (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$2$ を $\ln (3)$ の左に移動させます。

$6 (2 \cdot \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 9.3.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 9.3.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 9.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.4.1

共通因数を約分します。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 9.3.4.2

式を書き換えます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{1}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 9.3.5

指数を求めます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 9.3.6

$2$ に $5$ をかけます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) \cdot 10 - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 9.3.7

$10$ に $- 1$ をかけます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 9.3.8

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 9.3.9

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}))$

ステップ 9.3.10

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.10.1

共通因数を約分します。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}))$

ステップ 9.3.10.2

式を書き換えます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{1}))$

ステップ 9.3.11

指数を求めます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5))$

ステップ 9.3.12

$- 2$ に $5$ をかけます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$\ln (25)$ を $\ln (5^{2})$ に書き換えます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (5^{2}) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

ステップ 10.1.2

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{2})$ を展開します。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 (2 \ln (5)) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

ステップ 10.1.3

$2$ に $- 10$ をかけます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

ステップ 10.1.4

分配則を当てはめます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot - 10)$

ステップ 10.1.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 10)$

ステップ 10.1.6

$- 2$ に $- 10$ をかけます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 20)$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 (- 20 \ln (5)) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

$2$ に $6$ をかけます。

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 (- 20 \ln (5)) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

ステップ 10.3.2

$- 20$ に $6$ をかけます。

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

ステップ 10.3.3

$- 4$ に $6$ をかけます。

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 6 \cdot 20$

ステップ 10.3.4

$6$ に $20$ をかけます。

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

$12 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$12 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

10進法形式：

$- 91.86754125 \dots$

微分積分 例

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