微分積分例

$\int z^{3} e^{z} d z$

ステップ 1

$u = z^{3}$ と $d v = e^{z}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$z^{3} e^{z} - \int e^{z} (3 z^{2}) d z$

ステップ 2

$3$ は $z$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$z^{3} e^{z} - (3 \int e^{z} (z^{2}) d z)$

ステップ 3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$z^{3} e^{z} - 3 \int e^{z} (z^{2}) d z$

ステップ 4

$u = z^{2}$ と $d v = e^{z}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - \int e^{z} (2 z) d z)$

ステップ 5

$2$ は $z$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - (2 \int e^{z} (z) d z))$

ステップ 6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 \int e^{z} (z) d z)$

ステップ 7

$u = z$ と $d v = e^{z}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 (z e^{z} - \int e^{z} d z))$

ステップ 8

$e^{z}$ の $z$ に関する積分は $e^{z}$ です。

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 (z e^{z} - (e^{z} + C)))$

ステップ 9

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 (z e^{z} - (e^{z} + C)))$ を $z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 z e^{z} + 2 e^{z}) + C$ に書き換えます。

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 z e^{z} + 2 e^{z}) + C$

微分積分 例